第5章 数值积分与数值微分方法

关于定积分计算，已经有较多方法，如公式法、分步积分法等，但实际问题中，经常出现不能用通常这些积分方法计算的定积分问题。怎样把这些通常方法失效的定积分在一定精度下快速计算出来，特别是通过计算机编程计算出来就是本章研究的内容。

此外，怎样根据函数在若干个点处的函数值去求该函数的导数近似值也是本章介绍的内容。

本章涉及的方法有Newton-Cotes求积公式、Gauss求积公式、复化求积公式、Romberg求积公式和数值微分。

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5.1 引 例

人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。我国的第一颗人造地球卫星近地点距离地球表面439km，远地点距地球表面2384km，地球半径为6371km，求该卫星的轨道长度。 本问题可用椭圆参数方程

?x?acost　　　　 (0?t?2?,a,b?0) ?

?y?bsint来描述人造地球卫星的轨道，式中a, b分别为椭圆的长短轴，该轨道的长度L就是如下参数方程弧长积分 ?

L?4?2(asint?bcost)dt 0222212但这个积分是椭圆积分，不能用解析方法计算。

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5.2问题的描述与基本概念

要想用计算机来计算?af(x)dx，应对其做离散化处理。注意到定积分是如下和式的极限

要离散化，做 1） 去掉极限号lim 2） 将?i取为具体的xi值

3） 为减少离散化带来的误差，将?xi用待定系数Ai代替 于是就得到

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b?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi

??0i?1n 定义5.1 若存在实数x1,x2,?,xn;A1,A2,?,An,且任取f(x)?C[a,b],都有

?baf(x)dx??Aif(xi) （5.1）

i?1n则称式(5.1)为一个数值求积公式。式中Ai称为求积系数，xi称为求积节点，而称

R(f)??f(x)dx??Aif(xi) （5.2）

ai?1bn为求积余项或求积公式（5.1）的截断误差。

从定义可以看到，数值求积公式依赖于求积节点个数n、求积节点{xi}和求积系数{Ai}，这三个量有一个发生变化，则产生不同的求积公式。

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