所以该四棱锥的侧面积为

S?PFC?S?PEF?S?PED?S?PCD?2?3?2?7?4?3?7

【点睛】

本题考查通过线线垂直证明线面垂直，求棱锥的侧面积，属于中档题.

21．如图，在五面体ABCDFE中，侧面ABCD是正方形，?ABE是等腰直角三角形，点O是正方形ABCD对角线的交点EA?EB，AD?2EF?6且EF//AD.

（1）证明：OF//平面ABE；

（2）若侧面ABCD与底面ABE垂直，求五面体ABCDFE的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）45.

【解析】（1）取AB的中点M，连接OM、EM，证明四边形OFEM为平行四边形，可得出OF//EM，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出OF//平面ABE； （2）取AD的中点G，BC的中点H，连接GH、FG、FH，将五面体ABCDFE分割为三棱柱ABE?GHF和四棱锥F?CDGH，证明出AD?底面ABE和OF?平面ABCD，然后利用柱体和锥体体积公式计算出两个简单几何体的体积，相加可得出五面体ABCDFE的体积. 【详解】

（1）取AB的中点M，连接OM、EM， 侧面ABCD为正方形，且AC又

BD?O，?O为AC的中点，

1BC， 2M为AB的中点，?OM//BC且OM?1QEF//BC且EF?BC，?OM//EF，所以，四边形OFEM为平行四边形，

2?OF//EM.

QOF?平面ABE，EM?平面ABE，?OF//平面ABE；

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（2）取AD的中点G，BC的中点H，连接GH、FG、FH， 四边形ABCD为正方形，?AD?AB. 平面ABCD?平面ABE，平面ABCD平面ABE?AB，AD?平面ABCD，

?AD?底面ABE，

易知EF?3，AE?BE?32，S?ABE?1?322??2?9，

VABE?GHF?S?ABE?EF?9?3?27，

M为AB中点，EA?EB，?EM?AB，

AD?平面ABE，EM?平面ABE，?EM?AD，

QABIAD?A，AB、AD?平面ABCD，?EM?平面ABCD.

QOF//EM，?OF?平面ABCD，且OF?EM?3，

1?VF?CDGH??6?3?3?18，因此，V五面体ABCDFE?27?18?45.

3【点睛】

本题考查直线与平面平行的证明，以及多面体体积的计算，在计算多面体体积时，一般有以下几种方法：（1）直接法；（2）等体积法；（3）割补法.在计算几何体体积时，要结合几何体的结构选择合适的方法进行计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.

22．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB?AD，

PA?平面ABCD，E是棱PC上一点．

（1）证明：平面ADE?平面PAB．

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（2）若PE?4EC，O为点E在平面PAB上的投影，AD?3，AB?AP?2CD?2，求四棱锥P?ADEO的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）VP?ADEO?123 25【解析】（1）利用线面垂直的判定定理可得AD?平面PAB，再利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）取AB中点F，由平面的基本性质可得C,E,O,F确定一个平面，且点O在PF上，利用相似比可得PO?4OF，由SAOED9?AS△OE5，将四棱锥P?ADEO的体积转化为求解三棱锥D-AOP的体积，利用等体积转化法即可求解. 【详解】

（1）证明：因为PA?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA?AD． 又AB?AD，PAAB?A，所以AD?平面PAB．

又AD?平面ADE，所以平面ADE?平面PAB． （2）解：取AB的中点F，所以CFAD，则CF?AB．

又PA?CF，PA则EOAB?A，所以CF?平面PAB，

CF，即O点在线段PF上．

又PE?4EC，所以PO?4OF，OE?则VP?ADEO?VP?AOD?VD?AOP，

44CF?AD， 559595SPAO?4S5PAF?4， 5AOPVD?AOP?1AD?S3?43123，VP?ADEO?． 1525【点睛】

空间几何体体积问题的3种类型及解题策略

(1)求简单几何体的体积． 若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换

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法、分割法、补形法等进行求解．

(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

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