【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．

【分析】由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．

【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8， 根据题意得：△ABP≌△EBP，

∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8， 在△ODP和△OEG中，

，

∴△ODP≌△OEG（ASA）， ∴OP=OG，PD=GE， ∴DG=EP，

设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x， ∴CG=8﹣x，BG=8﹣（6﹣x）=2+x， 根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2， 即62+（8﹣x）2=（x+2）2， 解得：x=4.8， ∴AP=4.8；

故答案为：4.8．

17．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为 1或4 ．

【考点】勾股定理的证明．

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【分析】分两种情况：①5为斜边时，由勾股定理求出另一直角边长为4，小正方形的边长=4﹣3=1，即可得出小正方形的面积；

②3和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长=2，即可得出小正方形的面积；即可得出结果．

【解答】解：分两种情况： ①5为斜边时，

由勾股定理得：另一直角边长=

=4，

∴小正方形的边长=4﹣3=1，

2

∴小正方形的面积=1=1； ②3和5为两条直角边长时， 小正方形的边长=5﹣3=2，

2

∴小正方形的面积2=4；

综上所述：小正方形的面积为1或4； 故答案为：1或4．

18．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数： 13、84、85 ． 【考点】勾股数．

【分析】先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理进行求解即可． 【解答】解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2， 故第5组第一个数是11，第6组第一个数是13， 又发现第二、第三个数相差为一，

故设第二个数为x，则第三个数为x+1， 根据勾股定理得：132+x2=（x+1）2， 解得x=84．

则得第6组数是：13、84、85． 故答案为：13、84、85．

三、解答题

19．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD

的面积．

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．

【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积． 【解答】解：连接AC，如图所示：

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∵∠B=90°，

∴△ABC为直角三角形， 又∵AB=3，BC=4， ∴根据勾股定理得：AC=

=5，

又∵CD=12，AD=13，

∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，

222

∴CD+AC=AD，

∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，

则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB?BC+AC?CD=×3×4+×5×12=36．

故四边形ABCD的面积是36．

20．如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙上，梯子的底端A到墙根O的距离AO为2米，梯子的顶端B到地面的距离BO为6米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离A′O等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′．求梯子顶端下滑的距离BB′．

【考点】勾股定理的应用． 【分析】在△RtAOB中依据勾股定理可知AB2=40，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长．

222

【解答】解：在△RtAOB中，由勾股定理可知AB=AO+OB=40，在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2=A′O2+OB′2． ∵AB=A′B′，

∴A′O2+OB′2=40． ∴OB′==． ∴BB′=6﹣．

21．两根电线杆AB、CD，AB=5m，CD=3m，它们的底部相距8m，现在要在两根电线杆底端之间（线段BD上）选一点E，由E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE、CE．若使钢索AE与CE相等，那么点E应该选在距点B多少米处？

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【考点】勾股定理的应用．

【分析】设BE=x米，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2=52+x2，在Rt△CDE中，由勾股定

2222222

理得：CE=3+（8﹣x），根据AE=CE∴5+x=3+（8﹣x）求得BE的长即可． 【解答】解：设BE=x米， 在Rt△ABE中，AE2=52+x2

在Rt△CDE中，CE2=32+（8﹣x）2， ∵AE=CE， 2222

∴5+x=3+（8﹣x）， 解得x=3，

答：点E应该选在距B点3米处．

22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AC上一点，且AE=BC，过点A作AD⊥CA，垂足为A，且AD=AC，AB、DE交于点F

（1）判断线段AB与DE的数量关系和位置关系，并说明理由

（2）连接BD、BE，若设BC=a，AC=b，AB=c，请利用四边形ADBE的面积证明勾股定理．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的证明． 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得∠1与∠3的关系，AB与DE的关系，根据余角的性质，可得∠2与∠3的关系； （2）根据面积的不同求法，可得答案． 【解答】解：（1）AB=DE，AB⊥DE，

如图2，

∵AD⊥CA，∴∠DAE=∠ACB=90°． 在△ABC和△DEA中，

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