^
^
^
假设根据上表数据所得线性回归方程y＝bx＋a，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
^
^
^
^
A.b>b′，a>a′
^
^
B.b>b′，a ^ ^ C.b 解析 b′＝2，a′＝－2， D.b ^ i＝1 ? ?xi－x??yi－y? 求得 i＝1 6 由公式b＝ ? ?xi－x?2 6 ^ 5^13571b＝，a＝y－bx＝－×＝－， 76723^ ^ ^ ∴b 三、考查线性回归直线方程的应用 例3 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据： 年份 需求量/万吨 ^ ^ ^ 2006 236 2008 246 2010 257 2012 276 2014 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程y＝bx＋a； (2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2018年的粮食需求量． 解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下： 年份－2010 需求－257 对处理的数据，容易算得x＝0，y＝3.2， ?－4?×?－21?＋?－2?×?－11?＋2×19＋4×29－5×0×3.2b＝ ?－4?2＋?－2?2＋22＋42－5×02^^ 260 ＝＝6.5，a＝y－b x＝3.2. 40^ －4 －21 －2 －11 0 0 2 19 4 29 由上述计算结果，知所求线性回归方程为 ^ y－257＝6.5(x－2010)＋3.2， ^ 即y＝6.5(x－2010)＋260.2. (2)利用所求得的线性回归方程，可预测2018年的粮食需求量大约为6.5×(2018－2010)＋260.2＝6.5×8＋260.2＝312.2(万吨). 3 巧解非线性回归问题 如果题目所给样本点的分布不呈带状分布，即两个变量不呈线性关系，那么，就不能直接利用线性回归方程建立两个变量之间的关系，这时我们可以把散点图和已经学过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑选出与这些散点拟合最好的函数，然后利用变量置换，把非线性回归方程问题转化为线性回归方程的问题来解决，这是解决此类问题的通法，体现了转化思想． 一、案例分析 例 一个昆虫的某项指标和温度有关，现收集了7组数据如下表： 温度x/℃ 某项指标y 试建立某项指标y关于温度x的回归模型，并判断你所建立的回归模型的拟合效果． 分析 根据表中的数据画出散点图，再由图设出相应的回归模型． 解 画出散点图如图所示，样本点并没有分布在某个带状区域内，而是分布在某一条二次函数曲线y＝Bx2＋A的周围． 2 5.790 3 6.810 4 8.199 5 10.001 6 12.190 7 14.790 8 17.801 令X＝x2，则变换后的样本点应该分布在y＝bX＋a(b＝B，a＝A)的周围． 由已知数据可得变换后的样本数据表： X 某项指标y ^ 4 5.790 9 6.810 16 8.199 25 10.001 36 12.190 49 14.790 64 17.801 计算得到线性回归方程为y ＝0.199 94X＋4.999 03. 用x替换X，得某项指标y关于温度x的回归方程y ＝0.199 94x2＋4.999 03. 计算得R2≈0.999 997，几乎为1，说明回归模型的拟合效果非常好． 点评 本题是非线性回归分析问题，解决这类问题应该先画出散点图，把它与我们所学过的函数图象相对照，选择一种跟这些样本点拟合最好的函数，然后采用适当的变量变换转化为线性回归分析问题，使之得以解决． 2 ^ 二、知识拓展 常见的非线性函数转换方法： (1)幂型函数y＝axm(a为正数，x，y取正值) 解决方案：对y＝axm两边取常用对数，有lg y＝lg a＋mlg x，令u＝lg y，v＝lg x，则原式可变为u＝mv＋lg a，其中m，lg a为常数，该式表示u，v的线性函数． (2)指数型函数y＝c·ax(a，c>0，且a≠1) 解决方案：对y＝cax两边取常用对数，则有lg y＝lg c＋xlg a，令u＝lg y，则原式可变为u＝xlg a＋lg c，其中lg a和lg c为常数，该式表示u，x的线性函数．与幂函数不同的是x保持不变，用y的对数lg y代替了y. k (3)反比例函数y＝(k>0) x 1 解决方案：令u＝，则y＝ku，该式表示y，u的线性函数． x(4)二次函数y＝ax2＋c 解决方案：令u＝x2，则原函数可变为y＝au＋c，该式表示y，u的线性函数． (5)对数型函数y＝clogax 解决方案：令x＝au，则原函数可变为y＝cu，该式表示y，u的线性函数． 4 两个变量线性相关的判法汇总 一、由散点图判断两个变量线性相关 例1 “阿曼德披萨”是一个制作和外卖意大利披萨的餐饮连锁店，其主要客户群是在校大学生，为研究各店铺某季度的销售额与店铺附近地区大学生人数的关系，随机抽取十个分店的样本，得到数据如下： 店铺编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 区内大学生数x(万人) 0.2 0.6 0.8 0.8 1.2 1.6 2 2 2.2 2.6 某季度销售额y(万元) 5.8 10.5 8.8 11.8 11.7 13.7 15.7 16.9 14.9 20.2 (1)画出散点图，并判断各店铺该季度的销售额y与店铺附近地区大学生人数x是否具有线性相关关系？ (2)若具有线性相关关系，求回归方程，然后再进一步根据回归方程预测一个区内大学生有1万人的店铺的季度销售额． 分析 先根据表中的数据画出散点图，然后判断是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，再根据所给的数据求出线性回归方程，最后进行预测． 解 (1)散点图如图所示． 由散点图可以看出：这些点分布在一条直线的附近． 所以各店铺该季度的销售额y与店铺附近地区大学生人数x具有线性相关关系． (2)由表中数据可知x＝1.4，y＝13， x2i－10i＝1 ? 10 x＝5.68，?xiyi－10x y＝28.4. i＝1 2 10 ^ 28.4 所以b ＝＝5，a＝13－5×1.4＝6. 5.68 ^ ^ 因此回归方程是y＝5x＋6. ^ 当x＝1时，y＝5×1＋6＝11，即区内大学生有1万人的店铺的季度销售额约为11万元． 评注 本题根据线性回归方程进行预测，这要求同学们具备一定的数据分析、推测能力．通过学习，体会数据收集、分析在现实生活中的作用． 二、由样本相关系数判断两个变量线性相关 例2 2010年4月14日青海省玉树县发生7.1级大地震，为了抗震救灾，某工厂需大批生产帐篷支援灾区，工厂为了规定工时定额，需要确定加工帐篷所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下： 帐篷数x(顶) 加工时间Y(小时) 试问：(1)对x与Y进行相关性检验； (2)如果x与Y具有线性相关关系，求出回归方程． 10 62 20 68 30 75 40 81 50 89 60 95 70 102 80 108 90 115 100 122