初三几何证明题

经典题（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．

求证：CD＝GF．

2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。

求证：△PBC是正三角形．（初二）

3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、

N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN＝∠F．

经典题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （1）求证：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．

2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P. 求证：AP＝AQ．

3、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC

求证：BC=2OP

证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N

∵OF=OD，DN∥OP∥FL ∴PN=PL

∴OP是梯形DFLN的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG是正方形

∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL

又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL≌△ABM ∴FL=BM

同理△AMC≌△CND ∴CM=DN

∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP

经典题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．

求证：CE＝CF．

证明：连接BD交AC于O。过点E作EG⊥AC于G ∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC又EG⊥AC ∴BD∥EG又DE∥AC ∴ODEG是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG是矩形

111∴EG=OD=BD=AC=AE

222∴∠EAG=30° ∵AC=AE

∴∠ACE=∠AEC=75° 又∠AFD=90°-15°=75°

∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC ∴CE=CF

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F． 求证：AE＝AF．

证明：连接BD，过点E作EG⊥AC于G ∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC，又EG⊥AC ∴BD∥EG又DE∥AC

1∴ODEG是平行四边形

∴∠CAE=∠CEA=∠GCE=15°

又∠COD=90° 2在△AFC中∠F =180°-∠FAC-∠ACF ∴ODEG是矩形

=180°-∠FAC-∠GCE 111∴EG =OD =BD=AC=CE

=180°-135°-30°222=15° ∴∠GCE=30°

∴∠F=∠CEA ∵AC=EC

∴AE=AF PF⊥AP，CF平分∠DCE． 3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，

求证：PA＝PF．（初二）

证明：过点F作FG⊥CE于G，FH⊥CD于H ∵CD⊥CG∴HCGF是矩形 ∵∠HCF=∠GCF∴FH=FG ∴HCGF是正方形 ∴CG=GF ∵AP⊥FP 设AB=x，BP=y，CG=z ∴∠APB+∠FPG=90° z：y=（x-y+z）：x ∵∠APB+∠BAP=90° 化简得（x-y）·y=（x-y）·z ∴∠FPG=∠BAP ∵x-y≠0 又∠FGP=∠PBA ∴y=z ∴△FGP∽△PBA 即BP=FG ∴FG：PB=PG：AB ∴△ABP≌△PGF

4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．

求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）

证明：过点E作EK∥BD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H， 连接OH、MH、EC ∵EH=FH

∴OH⊥EF，∴∠PHO=90° ∴EM=KM 又PC⊥OC，∴∠POC=90° ∵EK∥BD ∴P、C、H、O四点共圆 OBAOOD∴ ??∴∠HCO=∠HPO EMAMKM又EK∥BD，∴∠HPO=∠HEK ∴OB=OD ∴∠HCM=∠HEM 又AO=CO ∴H、C、E、M四点共圆 ∴四边形ABCD的对∴∠ECM=∠EHM 角线互相平分 又∠ECM=∠EFA ∴ABCD是平行四边∴∠EHM=∠EFA 形 ∴HM∥AC ∴AB=DC，BC=AD ∵EH=FH 经典题(四)

1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求∠APB的度数．（初二） A解：将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得△BCQ，连接PQ 则△BPQ是正三角形

∴∠BQP=60°，PQ=PB=3

P在△PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5

∴△PQC是直角三角形 ∴∠PQC=90°

∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°

C∴∠APB=∠BQC=150° B2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA． Q求证：∠PAB＝∠PCB．（初二） AD证明：过点P作AD的平行线，过点A作PD的平行线， 两平行线相交于点E，连接BE ∵PE∥AD，AE∥PD

PE∴ADPE是平行四边形 ∴PE=AD，

又ABCD是平行四边形

BC∴AD=BC

∴PE=BC

又PE∥AD，AD∥BC 又∠ADP=∠ABP ∴PE∥BC ∴∠AEP=∠ABP ∴BCPE是平行四边形 ∴A、E、B、P四点共∴∠BEP=∠PCB 圆 ∵ADPE是平行四边形 ∴∠BEP=∠PAB ∴∠ADP=∠AEP ∴∠PAB=∠PCB

3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）

证明：在BD上去一点E，使∠BCE=∠ACD ⌒ =CD⌒ ∴∠CAD=∠CBD ∵CD

∴△BEC∽△ADC BEBC∴ ?ADAC∴AD·BC=BE·AC……………………① ∵∠BCE=∠ACD

∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE 即∠BCA=∠ECD

⌒=BC⌒,∴∠BAC=∠BDC ∵BC

ADEBC①+②得AB·CD+AD·BC =DE·AC+BE·AC △BAC∽△EDC =ABAC（DE+BE）·AC ∴ ?DECD =BD·AC ∴AB·CD=DE·AC……………………② 4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且

AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）

证明：过点D作DG⊥AE于G，作DH⊥FC于H，连接DF、DE A11

∴S△ADE=2AE·DG，S△FDC=2FC·DH 1

又S△ADE=S△FDC=2S□ABCD ∴AE·DG=FC·DH 又AE=CF ∴DG=DH

∴点D在∠APC的角平分线上 ∴∠DPA＝∠DPC

DFGP HBEC经典题（五）

1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：3≤L＜2． 证明：（1）将△BPC绕B点顺时针旋转60°的△BEF，连接PE，

A∵BP=BE，∠PBE=60° ∴△PBE是正三角形。 ∴PE=PB 又EF=PC PD∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF

B当PA、PE、EF在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图） 在△ABF中，∠ABP=120°∴AF=3

EGCF