∵（Ⅱ）∵∴

，∴

，

，

．

，∠ACB=α+β=．

设AC=2k，BC=3k，k＞0，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC?BC?cos∠ACB， 即

解得k=1，∴BC=3．

18．某气象站观测点记录的连续4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位cm）的情况如下表1： M y

900 0.5

700 3.5

300 6.5

100 9.5

，

哈尔滨市某月AQI指数频数分布如下表2：

M

（200，400]

频数 （1）设x=

3

6

（400，600] 12

（600，800] 6

（800，1000] 3

，根据表1的数据，求出y关于x的回归方程；

（参考公式：；其中，）

（2）小张开了一家洗车店，经统计，当M不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入． 【考点】BK：线性回归方程．

【分析】（1）利用公式计算线性回归方程系数，即可求得线性回归方程； （2）确定每月的收入的取值及概率，从而可求分布列及数学期望． 【解答】解：（1）则

=

=

（9+7+3+1）=5，

=

（0.5+3.5+6.5+9.5）=5，

=﹣

1.05，

=5﹣（﹣1.05）×5=10.25， 故

．

=0.1，

（2）由表2知AQI指数不高于200的频率为AQI指数在200至400的频率为AQI指数大于400的频率为0.7． 设每月的收入为X，则X的分布列为 X

﹣2000 P

0.1

0.2

0.7

4000

7000

=0.2，

则X的数学期望为E（X）=﹣2000×0.1+4000×0.2+7000×0.7=5500， 即小张的洗车店该月份平均每天的收入为5500．

19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=3，

，∠ABC=45°，P点在底面

ABCD内的射影E在线段AB上，且PE=2，BE=2EA，F为AD的中点，M在线段CD上，且CM=λCD． （1）当（2）当

时，证明：平面PFM⊥平面PAB；

时，求平面PAM与平面ABCD所成的二面角的正弦值及四棱锥P﹣ABCM的体积．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．

【分析】（1）利用余弦定理计算FM，根据勾股定理得出FM⊥DM，即FM⊥AB，结合FM⊥PE得出FM⊥平面PAB，故平面PFM⊥平面PAB；

（2）AM⊥平面PAB，故∠PAB为二面角的平面角，求出AM，代入体积公式计算即可． 【解答】解：（1）证明：当λ=又DF=

AD=

时，DM=

CD=

AB=1，

，∠ADC=∠ABC=45°，

∴FM=

∴FM2+DM2=FD2， ∴FM⊥DM．又DM∥AB， ∴FM⊥AB，

∵PE⊥平面ABCD，FM?平面ABCD， ∴PE⊥FM，PE∩AB=E，

∴FM⊥平面PAB，又FM?平面PFM， ∴平面PDM⊥平面PAB． （2）当

时，由（1）可知AM⊥平面PAB，∴AM⊥AB，AM⊥PA，

∴∠PAB为二面角P﹣AM﹣B的平面角， ∵PA==

， ∴sin∠PAB=

=

=．

在△ADM中，由余弦定理得AM=∴S梯形ABCM=（1+3）×2=4，

∴

=1，

=2，

．20．已知直线过椭圆C：

的右焦点F2，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在直线圆左焦点F1交椭圆C于M、N两点． （1）求椭圆C的方程； （2）设的最大值．

【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．

（其中2c为焦距）上，直线m过椭

（O为坐标原点），当直线m绕点F1转动时，求λ

【分析】（1）当y=0，即可求得交点坐标，由原点关于l的对称点为（x，y），列方程即可求得x值，则

，即可求得a的值，则b2=a2﹣c2=2，即可求得椭圆方程；

（2）设直线m的方程，代入椭圆方程，由题意可知根据向量的数量积，即可求得λ的表达式，利用韦达定理及基本不等式的性质，即可求得λ的最大值． 【解答】解：（1）由直线即椭圆的焦点为（±2，0），

，令y=0，解得x=2，可得c=2，

设原点关于l的对称点为（x，y），则，

解得x=3，即，可得a2=6，则b2=a2﹣c2=2，

∴椭圆的方程为；

（2）由（1）椭圆的焦点为（±2，0），设直线m：x=ty﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），

，整理得：（3+t2）y2﹣4ty﹣2=0，

则y1+y2=，y1y2=﹣，

，

，

可

得