2020版人教A版数学选修4-4同步配套练习题：第一讲+坐标系+检测+Word版含解析
答案ρ=2rcos22(??≠0)
15.在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=3,??cos ??+??sin ??=1围成的图形的面积是 .
解析因为三条直线θ=0,θ=3,??cos θ+ρsin θ=1在平面直角坐标系下对应的直线方程为y=0,y=√3??,??+??=1.
π
π
??
三条直线围成的图形(阴影部分)如图所示. 则点A(1,0),??(
1
√3-13-√3,). 223-√32
所以S△AOB=2×答案3-√34×1=
3-√34
.
三、解答题(本大题共5小题,共50分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(10分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换{
??'=2??,
后,曲线??变为曲线(??′?
??'=2??
5)2+(??′+6)2=1,求曲线??的方程,并判断其形状.
??'=2??,5212222
解将{代入(x'-5)+(y'+6)=1,得(2x-5)+(2y+6)=1,即(??-2)+(??+3)2=4.
??'=2??故曲线C是以(2,-3)为圆心,2为半径的圆.
17.(10分)在极坐标系中,求以点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程.
5
1
解如图,设P(ρ,θ)为圆上任意一点,连接OP,OC,CP,过点C作CD⊥OP于点D. ∵|CO|=|CP|,∴|OP|=2|DO|. 在Rt△CDO中,∠DOC=|θ-1|,
∴|DO|=cos(θ-1).∴|OP|=2cos(θ-1).
因此所求圆的极坐标方程为ρ=2cos(θ-1).
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18.(10分)已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=4cos ??(??≥0,0≤??<2),求曲线??1与??2交点的极坐标. ??cos??=3,①解∵{
??=4cos??,②
∴4cos2 θ=3.∴2(1+cos 2θ)=3.∴cos 2θ=2. ∵0≤2θ<π,∴θ=6.代入①得ρ=2√3. ∴C1与C2交点的极坐标为(2√3,6).
19.(10分)在极坐标系中,曲线L:ρsin2θ=2cos θ,过点A(5,α)(??为锐角,且tan??=4)作平行于??=4(??∈R)的直线l,且l与曲线L分别交于B,C两点.
(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,取与极坐标相同的单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线L和直线l的直角坐标方程; (2)求|BC|的长.
解(1)由题意得点A的直角坐标为(4,3), 曲线L的直角坐标方程为y2=2x, 直线l的直角坐标方程为y=x-1. (2)设B(x1,y1),C(x2,y2), ??2=2??,①联立{
??=??-1.②
把②式代入①式并整理,得x2-4x+1=0. 由根与系数的关系,得x1+x2=4,x1x2=1. 由弦长公式得|BC|=√1+??2|??1???2|=2√6.
20.(10分)在极坐标系中,O为极点,已知圆C的半径为2,圆心的极坐标为(2,3). (1)求圆C的极坐标方程;
????? =?????????? ,以极点??为原点,(2)若点P是圆C上一动点,点Q满足3????
以极轴为??轴正半轴建立平面直角坐标系,求点??的轨迹的直角坐标方程.
解(1)设M(ρ,θ)(ρ≠0)是圆C上除极点外的任意一点,过圆心C作CH⊥OM于点H, 则在Rt△COH中,|OH|=|OC|cos∠COH. ∵∠COH=∠COM=|??-3|,
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|OH|=2|????|=2??,|????|=2,
∴2??=2cos(??-3),即ρ=4cos(??-3)(??≠0).
又圆经过极点,故ρ=4cos(??-3)为所求圆C的极坐标方程. (2)设点Q的极坐标为(ρ1,θ1),
????? =?????????? ,∴点P的极坐标为(1??1,??1). ∵3????
3
将其代入圆C的极坐标方程得3??1=4cos(??1-3),即ρ1=6cos θ1+6√3sin θ1.
2∴??1=6??1cos θ1+6√3??1sin θ1.
令x=ρ1cos θ1,y=ρ1sin θ1,得x2+y2=6x+6√3??.
故点Q的轨迹的直角坐标方程为x2+y2-6x-6√3??=0.
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