第73练 抛物线
[基础保分练]
1.(2018·无锡模拟)若抛物线y＝2px(p>0)上的点A(2，m)到焦点的距离为6，则p＝________.
2.已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线x＝2y的焦点为F，M(3,5)，点Q在抛物线上，则
2
2
MQ＋QF的最小值为________.
3.(2019·淮安质检)若定义图形与图形之间的距离为一个图形上的任意一点与另一个图形上的任意一点的距离中的最小者，则直线x＋y＋5＝0与抛物线y＝2x的距离等于________.
4.已知M是抛物线C：y＝2px(p>0)上一点，F是抛物线C的焦点，若MF＝p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF＝________.
→→2
5.已知抛物线y＝8x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，且AF＝2FB，则AF＝________.
6.已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，P是抛物线C上的点，且PF⊥x轴.若以AF为直径的圆截直线AP所得的弦长为2，则实数p的值为________.
7.已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，M为抛物线上一点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p＝________.
8.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知AB＝42，
2
2
2
2
DE＝25，则C的焦点到准线的距离为________.
9.已知抛物线y＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则AC＋BD的最小值为________.
10.已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线与抛物线C相交于点M(点M位于第一象限)，与它的准线相交于点N，且点N的纵坐标为4，FM∶MN＝1∶3，则实数p＝________.
[能力提升练]
2
2
1.汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是________cm.
2.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________.
3.已知抛物线C：y＝2px(p>2)的焦点为F，准线为l，过点F斜率为3的直线l′与抛物线
2
2
NQC交于点M(M在x轴的上方)，过M作MN⊥l于点N，连结NF交抛物线C于点Q，则＝________.
QF
4→→2
4.过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若AF＝λFB(λ>1)，
3则λ的值为________.
5.(2018·苏州模拟)抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，A，B为抛物线上的两点，以AB为直径的圆过点F，过AB的中点M作抛物线的准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为________.
6.设抛物线y＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A，B两点，过AB的中点M作y轴3
的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若PF＝，则直线l的方程为________________.
2
2
2
MNAB答案精析
基础保分练
1192
1.8 2. 3. 4.45° 5.6 6.22
247.4 8.4
解析 不妨设抛物线C：y＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x＋y＝r(r>0)，如图，
2
2
2
2
又可设A(x0，22)，
?p?D?－，5?， ?2
?
点A(x0,22)在抛物线y＝2px上，∴8＝2px0，① 点A(x0,22)在圆x＋y＝r上， ∴x0＋8＝r，②
2
2
2
2
22
??222
点D?－，5?在圆x＋y＝r上，
?2?
∴5＋??＝r，③ ?2?
联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4. 9.2 10.2
解析 设准线与x轴交于点A，过点M作MB⊥AN，垂足为B. 设MN＝3m，FM＝BM＝m， 由题意得△MNB∽△FNA， ∴＝， ∴
22mm＝，∴p＝2. 4pp?p?2
2
NBBMANAF能力提升练 1.3.6
解析 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，如图所示.
因为灯口直径AB＝24，灯深OP＝10， 所以点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为y＝2px(p>0)，
2
由点A(10,12)在抛物线上， 得12＝2p×10，所以p＝7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0). 因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3.6cm. 2.2 3.2
解析 由抛物线定义可得MF＝MN，
π
又斜率为3的直线l′的倾斜角为，MN⊥l，
3π
所以∠NMF＝，即△MNF为正三角形，
3π
作QQ′⊥l，则∠NQQ′＝，
3
2
NQNQ1＝＝＝2. QFQQ′π
cos
3
4.4
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
??抛物线焦点坐标为F?，0?，
?2?
→?p?则AF＝?－x1，－y1?，
?2?→
pp??FB＝?x2－，y2?.
?
2
?
pλp??－x＝λx－，12→→2由AF＝λFB，得?2
??－y1＝λy2.
3p设直线AB的方程为x＝y＋.
42
y＝2px，??
联立?3px＝y＋，??42
2
322
整理得y－py－p＝0，
2
1λ
∴y1＝2p，y2＝－p，∴－2p＝－p，∴λ＝4.
22
5.
2 2
解析 由抛物线定义，
AF＋BF得＝2， 2
AF2＋BF2≤2
2
MNAB2
AF2＋BFAF2＋BF2
＝
即的最大值为
MNAB2. 2
6.2x－y－2＝0
解析 ∵抛物线方程为y＝4x，
2
∴抛物线焦点为
F(1,0)，准线为l：x＝－1，
设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
∵P在第一象限， ∴直线AB的斜率k>0，
设直线AB的方程为y＝k(x－1)， 代入抛物线方程消去y， 得kx－(2k＋4)x＋k＝0， 2k＋4±x1,2＝
2
222
2
2
k2＋22k2
－4k4
，
2k＋4
∴x1＋x2＝2，x1x2＝1，
k∵过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P， 设P点的坐标为(x0，y0)， 1
可得y0＝(y1＋y2)，
2
∵y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
2k＋44
∴y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝k·2－2k＝，
2
kk21
得到y0＝，∴x0＝2，
kk?12?可得P?2，?，
?kk?
3
∵PF＝，∴2
?1－12?2＋4＝3，解得k2＝2， ?k?k22??
∴k＝2，直线方程为y＝2(x－1)， 即2x－y－2＝0， 故答案为2x－y－2＝0.