27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．
（1）求证：MH为⊙O的切线．
（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）连接OH、OM，易证OH是△ABC的中位线，利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH，所以∠HCO=∠HMO=90°，从而可知MH是⊙O的切线；
（2）由切线长定理可知：MH=HC，再由点M是AC的中点可知AC=3，由tan∠ABC=，所以BC=4，从而可知⊙O的半径为2；
（3）连接CN，AO，CN与AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切线可知AO⊥CN，利用等面积可求出可求得CI的长度，设CE为x，然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ． 【解答】解：（1）连接OH、OM， ∵H是AC的中点，O是BC的中点， ∴OH是△ABC的中位线， ∴OH∥AB，
∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB， 又∵OB=OM， ∴∠OMB=∠MBO， ∴∠COH=∠MOH， 在△COH与△MOH中，
，
∴△COH≌△MOH（SAS）， ∴∠HCO=∠HMO=90°， ∴MH是⊙O的切线；
（2）∵MH、AC是⊙O的切线， ∴HC=MH=， ∴AC=2HC=3， ∵tan∠ABC=， ∴
=，
∴BC=4，
∴⊙O的半径为2；
（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I， ∵AC与AN都是⊙O的切线， ∴AC=AN，AO平分∠CAD， ∴AO⊥CN， ∵AC=3，OC=2， ∴由勾股定理可求得：AO=∵AC?OC=AO?CI， ∴CI=
，
， ，
∴由垂径定理可求得：CN=设OE=x，
由勾股定理可得：CN2﹣CE2=ON2﹣OE2， ∴∴x=
﹣（2+x）2=4﹣x2， ，
∴CE=，
，
．
由勾股定理可求得：EN=
∴由垂径定理可知：NQ=2EN=
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切线的判等知识内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
28．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=﹣2x2+4x+2与C2：u2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．
（1）求抛物线C2的解析式．
（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值． （3）设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先求得y1顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得m、n的值；
（2）设A（a，﹣a2+2a+3）．则OQ=x，AQ=﹣a2+2a+3，然后得到OQ+AQ与a的函数关系式，最后依据配方法可求得OQ+AQ的最值；
（3）连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．接下来证明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的性质得到BC=MD，CM=B′D，设点M的坐标为（1，a）．则用含a的式子可表示出点B′的坐标，将点B′的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M的坐标． 【解答】解：（1）∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣﹣2（x﹣1）2+4， ∴抛物线C1的顶点坐标为（1，4）． ∵抛物线C1：与C2顶点相同， ∴
=1，﹣1+m+n=4．
解得：m=2，n=3．
∴抛物线C2的解析式为u2=﹣x2+2x+3． （2）如图1所示：
设点A的坐标为（a，﹣a2+2a+3）． ∵AQ=﹣a2+2a+3，OQ=a，
∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=﹣（a﹣）2+∴当a=时，AQ+OQ有最大值，最大值为
．
．
（3）如图2所示；连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．
∵B（﹣1，4），C（1，4），抛物线的对称轴为x=1， ∴BC⊥CM，BC=2． ∵∠BMB′=90°， ∴∠BMC+∠B′MD=90°． ∵B′D⊥MC，
∴∠MB′D+∠B′MD=90°． ∴∠MB′D=∠BMC． 在△BCM和△MDB′中，∴△BCM≌△MDB′． ∴BC=MD，CM=B′D．
设点M的坐标为（1，a）．则B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2． ∴点B′的坐标为（a﹣3，a﹣2）． ∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2． 整理得：a2﹣7a﹣10=0． 解得a=2，或a=5．
当a=2时，M的坐标为（1，2）， 当a=5时，M的坐标为（1，5）．
综上所述当点M的坐标为（1，2）或（1，5）时，B′恰好落在抛物线C2上．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，用含a的式子表示点B′的坐标是解题的关键．
，