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试题类型：A
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
（1） 设复数z满足
1+z＝i，则|z|＝ 1?z(A)1 (B)2 (C)3 (D)2
(2)sin20°cos10°－con160°sin10°＝
3311 (B) (C)? (D) 2222(3)设命题P：?n?N，n2>2n，则?P为
nn (A)?n?N， n2>2 (B)? n?N， n2≤2
nn (C)?n?N， n2≤2 (D)? n?N， n2＝2
(A)?
(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
(5)已知M(x0，y0)是双曲线C：x2F1、F2是C上的两个焦点，若MF1?MF2?y2?1 上的一点，
2＜0，则y0的取值范围是
(A)(－3333，) (B)(－，) 336622222323(C)(?，) (D)(?，)
3333(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周
八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
1
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛
(7)设D为ABC所在平面内一点BC?3CD，则
1414AB?AC (B) AD?AB?AC 33334141(C) AD?AB?AC (D) AD?AB?AC
3333(A) AD??
(8)函数f(x)＝的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为 (A)()，k (b)(
)，k
(C)(
)，k (D)(
)，k
(9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝ (A)5 (B)6 (C)7 (D)8
（10）(x2?x?y)5的展开式中，x5y2的系数为
(A)10 (B)20 (C)30 (D)60
（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体， （12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 （13）表面积为16 ＋ 20?，则r＝ (A)1 (B)2 (C)4
2r r 正视图 r 2r 2
(D)8
x12.设函数f(x)＝e(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的 整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( )
A.[?
333333，1) B. [?,) C. [,) D. [，1)
2e42e42e2e第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)若函数f(x)＝xln(x＋a?x2)为偶函数，则a＝ (14)一个圆经过椭圆
的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 .
?x?1?0y?(15)若x，y满足约束条件?x?y?0，则的最大值为 .
x?x?y?4?0?(16)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)
Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，(Ⅰ)求{an}的通项公式： (Ⅱ)设
，求数列
}的前n项和
E
(18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°， F E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD， DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
A D (1)证明：平面AEC⊥平面AFC
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值 C B
(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
年销售量/t
年宣传费(千元)
x y w 6.8 ?x?11(x1－x) 2?x?11(w1－w) 2?x?11(x1－x)(y－y) ?x?11(w1－w)(y－y) 108.8 46.6 56.3 289.8 1.6 1469 3
1表中w1 ＝x1， ，w ＝
8?w1
x?11(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：
（i） 年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)…….. (un vn)，其回归线v＝???u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
???(u?u)(v?v)iii?1n?(u?u)ii?1n,??v??u
2
(20)(本小题满分12分)
x2在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝与直线y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，
4(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.
(21)(本小题满分12分)
1,g(x)??lnx 4(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线y?f(x) 的切线；
已知函数f(x)＝x3?ax?(Ⅱ)用min ?m,n? 表示m，n中的最小值，设函数h(x)?minf(x),g(x)??(x?0) ，讨论h(x)
零点的个数
请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，BC交☉O于点E C E （I） 若D为AC的中点，证明：DE是☉O的切线； D （II） 若OA＝3CE，求∠ACB的大小.
A B O (23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
22
在直角坐标系xOy中.直线C1:x＝－2，圆C2：(x－1)＋(y－2)＝1，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（I） 求C1，C2的极坐标方程； （II） 若直线C3的极坐标方程为??
?4???R?，设C2与C3的交点为M，N ，求△CMN的面积
2
4