资本存量的变化△K为：

△K=I－ δK，由I=S=sY，则

△K= sY － δK ，两边同时除以劳动数量N，则△K/N=sY/N － δK /N, △K/N=sy － δk, ∵k（t）=K（t）/N （t） 求关于时间的微分：

dk(t)/dt= 1/N2[N·(dK/dt)－K(dN/dt）]

利用(dN/dt)/N=n, dK/dt=I,则上式可表示为 I/N=dk/dt+nk , 或 △K/N= △k+ nk ∵ △K/N=sy － δk ， ∴ △k+ nk= sy － δk

新古典增长模型的基本方程 :△k= sy－(n+δ) k 资本的深化=人均储蓄－资本的广化

人均资本的增加，即为每一个人配备更多的资本设备，这被称为资本的深化。即 △k＞0。每一增加人口配备每人平均应得的资本设备nk，这被称为资本的广化。 一定量储蓄必须用于替换折旧资本，这一用途的储蓄为δk 。

涵义：在一个社会全部产品中减去被消费掉的部分之后，剩下来的便是储蓄；在投资等于储蓄的均衡条件下，整个社会的储蓄可以被用于两个方面：一方面给每个人添置更多的资本设备，即资本深化，另一方面为新出生的每一个人提供平均数量的资本设备，即资本的广化。 二、稳态分析

稳态：指一种长期均衡的状态。

在稳态时，人均资本达到均衡值并维持在均衡水平不变，在忽略了技术变化条件下，人均产量也达到稳定状态。在稳态之下，k和y达到一个持久性的水平。

要实现稳态， △k=0，人均储蓄必须正好等于资本的广化。∴新古典增长理论中稳态条件是：

sy=(n+δ) k

注意！稳态时y和k的值固定，但总产量和资本存量都在增长。总产量和总的资本存量的增长率都与劳动力的增长率n相等。

∵劳动人口以速度n增长，k=K/N固定，∴总资本存量K必须与劳动力按同比例n增长。

又∵ y=Y/N，且稳态时y亦固定， ∴总产量Y也必须按比率n增长。

总之，在新古典增长理论框架内，稳态意味着：

y△Y/Y= △N/N= △K/K=n

(n+δ) ks f(k)为人均储蓄曲线，0＜s＜1，f

f(k)yA（k）为生产函数曲线，(n+δ) k为

资本的广化曲线。

As f(k)s yAA点：稳态均衡，人均资本为

kA，人均产量为yA，人均储蓄恰好等于资本广化的需要。 A点之左： s f(k)曲线比(n+δ) k曲线高，表明储蓄高于资本广化需要，存在资本深化。△k＞0。∴经济中人均资本k有上升趋势，k向kA逼okAk经济增长的稳态近，最终达到kA ，经济达到稳定状态。

A点之右：人均储蓄不能满足资本广化的需要， △k＜0， ∴经济中人均资本k有下降的趋势，k向kA逼近，最终达到kA ，经济达到稳定状态。

当经济处于资本深化阶段时，y和k会逐步上升，即Y/N和K/N向其稳态值接近。 如果Y/N上升，则Y会比N增长得快。 ∴△Y/Y＞ △N/N=n

表明在资本深化阶段，产量增长高于起稳态值。这意味着在其他条件相同的情况下，资本贫乏国家的增长快于资本富裕的国家。随着资本存量的深化， k接近kA ，增长会慢下来。同理，如果资本富裕的国家的人均资本下降时，那么产量的增长率就会降低到n以下。

结论：当经济偏离稳定状态时，无论人均资本过多还是过少，都存在着某种力量使其恢复到长期均衡。三、储蓄率的增加 从稳态均衡C到新的稳态均衡C'，可以看到：

y（1）从短期看，更高的储蓄率导致了总产量和人均产量增长率的增加。因

C'为增加人均资本的唯一途径是资本存

y'量比劳动力更快地增长，进而引起产量更快地增长。 Cy0（2）稳态中的产量增长率是独立于储蓄率的，从长期看，随着资本积累，增长率逐渐降低，最终又回落到人口增长的水平。

a图为人均收入的时间路径。储蓄率的上升导致人均资本上升，从而增加人ok0k '均产量，直到达到新的稳态为止。

储蓄率增加的影响b图为产量增长率的时间路径。储蓄率的增加导致资本积累，从而带动产量

的暂时性的较高增长。但随着资本积累，产量的增长最终会回落到人口增长率的水平上。

y

y0

tot0t1

（a）G

n

tot0t1（b） 人均产出和增长率随时间变化的轨迹

(n+δ) ks 'f (k)sf(k)k结论：储蓄率的增加不能影响到稳态增长率，但确实能提高收入的稳态水平。

四、人口增长

人口增长率从n增加到n'，稳

y态均 衡由A

(n'+δ)点 新的稳态均衡 kA'点：

人口增长率的增加降低了人均资本的稳态水平（由k到k'），进而Ayy'降低了人均产量的稳态水平（由yA'到y'）。

人口增长率上升，产生的人均产 量下降是许多发展中国家面临的问 题。两个储蓄率相同的国家，如果人口增长率不同，人均收入水平就会不同。

ok'k人口增长率上升增加了总产量

人口增长的影响的 稳态增长率。

五、资本的黄金率水平

国家经济发展的根本目的：提高人 均消费水平。 如何处理积累和消费的比例关系？

经济学家费尔普斯1961年提出了黄金分割率。

黄金分割律的基本内容：若使稳态人均消费达到最大，稳态人均资本量的选择应使资本的边际产品等于劳动的增长率。用方程表示：f '（k*）=n

在稳态时，如果一个经济中人均资本量多于黄金分割律的水平，则可通过消费掉一部分资本使平均每个人的资本下降到黄金分割律的水平，就能够提高人均消费水平。另一方面，如果一个经济拥有的人均资本少于黄金分割律的数量，则该经济能够提高人均消费的途径是：减少目前消费,增加储蓄,直到人均资本达到黄金分割律水平。 六、考虑到技术进步时的稳态

考虑到技术进步是新古 ynk典增长理论不同于哈罗德-多马

模型的重要之处。

考虑到技术进步时的总量生产函数：

Y=F（K，N，A）

Y与A具有正向关系，即给定资本和劳动，A的增加（技术状况的改进），将带来产量增加。为便于分析技术进步，可将生产函数写为：

Y=（K，NA） （1） o NA为劳动与技术的乘积，如将NA称为有效劳动力，则技术

(n+δ)ksf(k)kX'M'XT'Tkk*k+k\My=f(k)k经济增长的黄金分割律进步意味着增加了经济的有效劳动力。 对于生产函数（1），若Y是K和NA的一次齐次函数时，可将其表示为： y=f（k） 式中，y=Y/（NA）称为有效人均产出；k=K/(NA)称为有效人均资本。 结论：

1.考虑到技术进步时的稳态是指使有效人均资本和有效人均产量均为常数的状态。在稳态时，总产出将按有效劳动力NA的增长率增长。

2.有效劳动力NA的增长率为劳动力增长率与技术进步增长率之和。

3.在稳态时,总产出的增长率由劳动力增长率和技术进步率之和所决定,与储蓄率无关;人均产量增长率决定于技术进步率。但储蓄率的增加却能增加稳态有效人均产出水平。 由于在稳态时，产出、资本和有效劳动力都按相同的比率增长，故这种稳态也被称为平衡增长状态。若gN为人口增长率， gA为技术进步增长率，则平衡增长的特征可概括为：

平衡增长状态表

项目 有效人均资本 有效人均产量 人均资本 人均产量 劳动 资本 产量 有效劳动 增长率 0 0 gA gA gN gN+ gA gN+ gA gN+ gA 七、考虑到人力资本时的分析

考虑到人力资本时的生产函数： Y/N=f（K/N，H/N）

这表明人均产量水平既取决于人均实物资本K/N，也取决于人均人力资本H/N。在其他条件不变时，随着人均人力资本的提高，经济中平均劳动技能水平在提高，可带来更高的人均产出水平。 结论： 1.关于实物资本积累的结论仍成立，即增加储蓄率可以增加稳态的人均实物资本，

进而也增加稳态的人均产出水平。

2.通过教育和在职培训等方式进行的人力资本投资的增加也增加稳态的人均人力资本，进而增加人均产量。

在长期，人均产量依赖于社会储蓄多少和教育支出多少。

人力资本和实物资本都是人均产出的决定因素，两者中孰更重要？

研究表明，在实物资本方面的投资和在教育方面的投资对于产出的决定所起的作用大致相同。

例:在古典经济增长模型中，人均生产函数为：y=f（k）=2k－0.5k2,人均储蓄率为0.3,人口增长率为0.03,求:

(1)使经济均衡增长的k值.

(2)与黄金率相对应的稳态的人均资本量. 解:(1)经济均衡增长时:sf(k)=nk

代入数值:0.3×(2k－0.5k2)=0.03k, K=3.8