07泛函分析习题(1)

一、在R中定义如下三种距离：x?(x1,x2),y?(y1,y2)?R2，

2d1(x,y)?(x1?y1)2?(x2?y2)2，d2(x,y)?max{x1?y1,x2?y2}，

d3(x,y)?x1?y1?x2?y2，试证：d2?d1?2d2，

从而这三种距离诱导出的极限是等价的。

二、设d(x,y)为空间X上的距离，试证：d(y,x)?(n)(n)p2d3?d1?d3，d2?d3?2d2，2~d(y,x)也是X上的距离。

1?d(y,x)三、设p?1，xn?(?1,?,?i,?)?l，n?1,2,?，x?(?1,?,?i,?)?lp，则n????(n)时，d(xn,x)????i??i??0的充要条件为(1)n??时，?i(n)??i，i?1,2,?；

?i?1?p?1p(2)???0，存在N?0，使得

i?N?1???(n)pi??对任何n自然数成立。

1pp四、在L[a,b](p?1)上定义距离：?(x,y)?????abx(t)?y(t)dt??，则在此距离诱导的

?p极限意义下，xn(t)收敛于x(t)的充要条件为(1)xn(t)依测度收敛于x(t)；(2)?xn(t)?在

[a,b]上具有等度绝对连续的积分。

五、设B是距离空间X中闭集，试证必有一列开集O1，O2，?，On,?包含B，并且

B??On。

n?1?六、设X为距离空间，F1，F2为X中不相交的闭集，试证：存在开集G1，G2，使得

G1?G2??，G1?F1，G2?F2。

七、试证：l是不可分的距离空间。

八、设X为距离空间，A为X中的子集，令f(x)?infd(x,y)，x?X，试证：f(x)是

y?A?X上的连续函数。

九、试证：l(p?1)是完备的距离空间。

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十、试证：L(p?1)是完备的距离空间。

十一、设f(x)是R上的可微函数，并且f?(x)???1，则方程f(x)?x有唯一的实数解。 十二、设F是n维欧几里得空间R中有界的闭集，A是F到自身中的映射，并且满足下列条件：对任何x,y?F(x?y)，有d(Ax,Ay)?d(x,y)。试证：映射A在F中存在唯一的不动点。

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