细杆在K系中的两个坐标上的投影分别为

22???x?1??u/c??x??l01??u/c?co?s? ?

?????y??y??l0sin在K系中细杆的长度为

l??x2??y2?l01??u/c?cos2???sin2???l01??ucos??/c?

22??与X轴正向夹角?为 ??arctan?arct?an

?y?x?tg???22?1?u/c?? ??4.4 一飞船以9?10ms的速率相对于地面[假设地面惯性系]匀速飞行。若飞船上的钟走

了5s的时间，用地面上的钟测量是经过了多少时间？ 解：根据相对论中时间延长关系 T?3?1T01?(v/c)2

代入数据，可得 T?

51?[9?10/(3?10)]382?5.0000000s 024.5 已知?介子束的速度为0.73c[c为真空中的光速]，其固有平均寿命为2.5?10s，

在实验室中看来，?介子在一个平均寿命期内飞过多大距离？ 解：根据相对论中时间延长关系 T????8T01?(v/c)2

代入数据，可得 T?2.5?10?81?0.7328?3.658?10?8s

?8因此 S?vT?0.73?3?10?3.658?10

?8.01m

4.6 惯性系K?相对另一惯性系K沿x轴作匀速直线运动，在惯性系K中观测到两个事件

同时发生x轴上，且其间距是1m，在K?系观测到这两个事件的空间间距是2m，求K?系中测得的这两个事件的时间间隔。

解：由相对论的同时性的两个等价关系

?t??u?x?v/c2 (1) ?t???x??v/c2 (2)

联立两式得到

u?x??x? ? u?代入(2)式中得到

?x?1?x? ? ? v?c1?(?x/?x?)2 ??x1?(v/c)2?x 25

?t???x??v/c2??x??1?(?x/?x?)2/c?2?1?(1/2)2/(3?108)?5.77?10?9s

4.7论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同的地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时发生。

证明：令在某个惯性系中两事件满足 ?t?0， ?x?0

则在有相对运动的另一个惯性系中(相对运动速度为v),两事件的时间间隔是

?t??u(?t??x?v/c)??u?x?v/c??由于 ?x?0， v?0且v??c

所以 ?t??0，即两事件一定不同时发生。

22?x?v/c21?(v/c)2

4.8 试证明：(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两

个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短；(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短。

证明(1) 设两事件在某惯性系中于同一地点发生，即?x?0，时间间隔为?t，则在另一个相对运动速度为v的惯性系中，两事件的时间间隔为

?t??u(?t??x?v/c2)?u?t??t1?(v/c)2??t

所以，在原惯性系中时间间隔最短。

证明(2) 设两事件在某惯性系中于同时发生，即?t?0，时间间隔为?x，则在另一个相对运动速度为v的惯性系中，两事件的时间间隔为

?x??u(?x?v?t)?u?x?所以，在原惯性系中空间间隔最短。

?x1?(v/c)2??x

4.9 若电子A和电子B均以0.85c[c为真空中的光速]的速度相对于实验室向右和向左飞

行，问两者的相对速度是多少？ [ 答案：0.99c]

4.10 一光源在K?系的原点O?发出一光线。光线在O?X?Y?平面内且与x?轴的夹角为??。

设K?系相对于K系沿x轴正向以速率u运动。试求在K系中的观测者观测到此光线与x轴的夹角?。

s??Vx??cco?解：光线的速度在K?系中两个速度坐标上的投影分别为 ?

??V?csin??y由速度变换关系

u2Vy?1?2?u?Vxc

Vx? ， Vy?V??uu1?2Vx?1?x2cc26

则在K系中速度的两个投影分别为

ccos???ucsin??1?u2/c2Vx?， Vy?

uccos??uccos??1?1?2cc2所以，在K系中的观测者观测到此光线与x轴的夹角??arctan

4.11 如果一观测者测出电子的质量为2m0[m0为电子的静止质量]，问电子的速度是多大？ 解：由相对论质量关系 m?VyVx

m01?(V/c)2

而且 m?2m0 得到 V?

4.12 如果将电子由静止加速到0.1c [c为真空中的光速] 的速度，需要对它作多少功？速度从0.9c加速到0.99c，又要作多少功？

解(1) 由相对论动能定理：

3c?0.866c 2Aab??ba???11222F?dr?mbc?mac?m0c??22?1?(V/c)1?(V/c)ba??? ??因为 Va?0， Vb?0.1c 代入得到 Aab?m0c?2???1??0.005m0c2?4.095?10?16J?2.56Kev 2?1?0.1?1(2) 将 Va?0.9c， Vb?0.99c代入原式

?11Aab?m0c2??21?0.92?1?0.99

?2?133??4.7946m0c?3.93?10J?2.46?10Kev ?4.13 在什么速度下粒子的动量是其非相对论动量的两倍？在什么速度下粒子的动能等于它

的静止能量？

解(1) 由相对论动量公式 p?mV?m0V1?(V/c)2

而且 p?2m0V

27

联立两式 m?2m0 ? V?3c?2.6?108ms?1 222(2) 由相对论动能公式 EK?mc?m0c 2而且 EK?2m0c

联立两式 m?2m0 ? V?

4.14 静止质量为9.1?10?313c?2.6?108ms?1 2kg的电子具有5倍于它的静能的总能量，试求它的动量和速率。

[提示：电子的静能为E0?0.511MeV] 解：由总能量公式 E?mc 而且 E?5E0 ? m?25E0 (1) 2c其中 m?m01?(v/c)2 (2)

联立(1)、(2)两式

24m0c(9.1?10?31)2?(3?108)4?c1??0.98c V?c1?26?19225E025?(0.511?10?1.6?10)将(1)式代入动量公式

p?mV?

5E05?0.98?0.51Mev2.5Mev?0.98c??

ccc24.15 一个质量为M的静止粒子，衰变为两个静止质量为m1和m2的粒子，求这两个粒子的

动能。[提示：利用能量守恒和动量守恒关系] 解：令两粒子的动能分别为EK1与EK2

由相对论能量守恒得到 Mc?EK1?EK2?m1c?m2c (1)

2222422由相对论动量和能量的关系 E?pc?m0c?(EK?m0c)

2222EK得到 p?2?2m0EK

c2 28