1.9 一质点沿半径为10cm的圆周运动，其角坐标?(以弧度rad计)可用下式表示

??2?4t3

其中t的单位是秒(s)试问：(1)在t?2s时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？ (2)当?等于多少时其总加速度与半径成45角 ？

解：(1) 利用 ??2?4t3，??d?/dt?12t2，??d?/dt?24t，

得到法向加速度和切向加速度的表达式

24 an?r??144rt，at?r??24rt

在t?2s时，法向加速度和切向加速度为：

44?2 an?144rt?144?0.1?2?230.4(m?s)，

at?24rt?24?0.1?2?4.8(m?s?2)

(2) 要使总加速度与半径成45角，必须有an?at，即144rt4?24rt 解得 t3?1/6，此时 ??2?4t3?2.67rad

1.10 甲乙两船，甲以10km/h的速度向东行驶，乙以15km/h的速度向南行驶。问坐在乙船上的人看来，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？ 解：以地球为参照系，设i、j分别代表正东和正北方向，则甲乙两船速度分别为

??????v1?10ikm/h，v2??15jkm/h

根据伽利略变换，当以乙船为参照物时，甲船速度为

?????v?v?v?(10i?15j)km/h 1215?v?102?152?18.1km/h，??arctg?56.31?

10即在乙船上看，甲船速度为18.1km/h，方向为东偏北56.31?

同理，在甲船上看，乙船速度为18.1km/h，方向为西偏南56.31?。

1.11 有一水平飞行的飞机，速率为v0，在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度v向前射

击。略去空气阻力，

(1) 以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程； (2) 以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程；

(3) 以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？

2解：(1) 以地球为参照系时，炮弹的初速度为v1?v?v0，而x?v1t，y??0.5gt 消去时间参数t，得到轨迹方程为：

gx2（若以竖直向下为y轴正方向，则负号去掉，下同） y??2(v?v0)2gx2 (2) 以飞机为参照系时，炮弹的初速度为v，同上可得轨迹方程为y??2

2v

5

gx2 (3) 以炮弹为参照系，只需在(2)的求解过程中用?x代替x，?y代替y，可得 y?.

2v21.12如题1.12图，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为D，速率为v，一艘速率为u?v的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。试证明：如果快艇在尽可能最迟的时

Dv2?u2刻出发，那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为x?；快艇截

u住这条船所需的时间为t?Dvuv?u22。

Y

v D u ? X x 港口

习题1.12图

证明：在如图所示的坐标系中，船与快艇的运动方程分别为

?x1?vt ? 和

y?D?1拦截条件为：

?x2?x?ucos??t ?y?usin??t?2?x1?x2 即 ?y?y2?1所以

cos??t?vt?x?u ?D?usin??t?D?v?ucos??x?，

usin?x取最大值的条件为：dx/d??0，由此得到cos??u/v，相应地sin??1?(u/v)2。

因此x的最大值为

Dv2?u2x?

ux取最大值时对应的出发时间最迟。快艇截住这条船所需的时间为

6

t?DDv?。

usin?uv2?u2习题二答案 习题二

2.1 简要回答下列问题：

(1) 有人说：牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例，因而它是多余的.你的看法如何？

(2) 物体的运动方向与合外力方向是否一定相同？

(3) 物体受到了几个力的作用，是否一定产生加速度？ (4) 物体运动的速率不变，所受合外力是否一定为零？ (5) 物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？

(6) 为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值？

(7) 合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物体动能的增量？

(8)质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理与动能定理是否与惯性系有关？请举例说明. (9)判断下列说法是否正确，并说明理由：

(a)不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.

(b)内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒. (c)只有保守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.

(10) 在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？ (11) 放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何？为什么在空中焰火总是以球形

逐渐扩大？(忽略空气阻力)

2.2 质量为m质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力F??kv（k为常数）作用，

t?0时质点的速度为v0，证明：

（1）t时刻的速度为v?v0e?ktm；

?ktm]； （2）由0到t的时间内经过的距离为x?(mv0k)?[1?e（3）停止运动前经过的距离为mv0k。

证明： (1) 由 ma?mvdvdvk?F??kv 分离变量得 ??dt，积分得 dtvmtkvkdv?ktmv?veln??t??dt ，， 0?v0v?0mv0m 7

(2) x?vdt???t0v0e?kt/mdt?mv0(1?e?kt/m) k(3) 质点停止运动时速度为零，即t??，故有x????0v0e?kt/mdt?mv0。 k2.3一质量为10 kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t?0时，物体的速度为零，物体在力F?3?4t(N)(t以s为单位)的作用下运动了3s，求它的速度和加速度. 解. 根据质点动量定理,

?Fdt?mv?mv, ??3?4t?dt?mv

00022??3t?2t??03?3?2?3v???2.7(ms?1)

m10333根据牛顿第二定律，F?ma

a?

F?3?4t?t?33?4?3???1.5(m/s2) mm102.4 一颗子弹由枪口射出时速率为v0 ms-1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为

，其中t以秒为单位： F?(a?bt)N（a,b为常数）

（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；

（2）求子弹所受的冲量； （3）求子弹的质量。 解：

(1)由题意，子弹到枪口时，有F?(a?bt)?0, 得t?ta ba212a(2)子弹所受的冲量I??(a?bt)dt?at?bt，将t?代入，得I?

02b2bIa2(3)由动量定理可求得子弹的质量 m? ?v02bv0

???2.5 一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为r?acos?ti?bsin?tj，求质点

的动量及t?0到t??2?时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。 解：质点的动量为

p?mv?mr?m???asin?ti?bcos?tj?

将t?0和t??2?分别代入上式，得

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