大学物理学习题答案
习题一答案 习题一
1.1 简要回答下列问题：
(1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相
等？
(2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？
(3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什
么？
(4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一
定保持不变？ (5) ?r和?r有区别吗？?v和?v有区别吗？
dvdv?0和?0各代表什么运动？ dtdt(6) 设质点的运动方程为：x?x?t?，y?y?t?，在计算质点的速度和加速度时，有人先求
出r?x2?y2，然后根据
d2rdrv? 及 a?2
dtdt而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即
?d2x??d2y??dx??dy?v?????? 及 a??2???2? ?dt??dt??dt??dt?你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？
(7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？
(8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此
其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？
(9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？
(10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，an、at、a三者的大小是否随时间改变？ (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？
1.2 一质点沿x轴运动，坐标与时间的变化关系为x?4t?2t2，式中x,t分别以m、s为单
2222 1
位，试计算：(1)在最初2s内的位移、平均速度和2s末的瞬时速度；(2)1s末到3s末的平均加速度；(3)3s末的瞬时加速度。 解：
(1) 最初2s内的位移为为： ?x?x(2)?x(0)?0?0?0(m/s) 最初2s内的平均速度为： vave??x0??0(m/s) ?t2t时刻的瞬时速度为：v(t)?dx?4?4t dt2s末的瞬时速度为：v(2)?4?4?2??4m/s
?vv(3)?v(1)?8?0????4m/s2 ?t22dvd(4?4t) (3) 3s末的瞬时加速度为：a????4(m/s2)。
dtdt (2) 1s末到3s末的平均加速度为：aave?1.3 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为a0，质点出发后，每经过?时间，加速度均匀增加b。求经过t时间后，质点的速度和位移。
解: 由题意知，加速度和时间的关系为
ba?a0?t
?利用dv?adt，并取积分得
b2b??，v?at?t dv?a?tdv0?0???2???00?再利用dx?vdt，并取积分[设t?0时x0?0]得
xtvtx0?dx??vdt，?x?012b3a0t?t 26?1.4 一质点从位矢为r(0)?4j的位置以初速度v(0)?4i开始运动，其加速度与时间的关系为a?(3t)i?2j.所有的长度以米计，时间以秒计.求：
（1）经过多长时间质点到达x轴；
（2）到达x轴时的位置。 解： v(t)?v(0)?32??a(t)dt?4?t?i?(2t)j ??02??tt r(t)?r(0)?13??2vtdt?4t?ti?4?tj ???????02??（1） 当4?t?0，即t?2s时，到达x轴。
2
2（2） t?2s时到达x轴的位矢为 ：r(2)?12i 即质点到达x轴时的位置为x?12m,y?0。
1.5 一质点沿x轴运动，其加速度与坐标的关系为a???x，式中?为常数，设t?0时刻的质点坐标为x0、速度为v0，求质点的速度与坐标的关系。
2d2x???2x 解：按题意 2dtd2xdvdvdxdv???v由此有 ??x?， 2dtdxdtdxdt2即 vdv???xdx， 两边取积分 得
122?vv0vdv???2?xdx，
x0x2222211v2?12v0??2?x?2?x0
?v?22由此给出 v???A2?x2，A??0??x0
???
2????21.6 一质点的运动方程为r(t)?i?4tj?tk，式中r，t分别以m、s为单位。试求：
??drdv解：(1) 速度和加速度分别为： v??(8t)j?k， a??8j
dtdt????2 (2) 令r(t)?xi?yj?zk，与所给条件比较可知 x?1，y?4t，z?t
所以轨迹方程为：x?1,y?4z2。
1.7 已知质点作直线运动，其速度为v?3t?t(ms)，求质点在0~4s时间内的路程。 解: 在求解本题中要注意：在0~4s时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而运动出
442?1(1) 质点的速度与加速度；(2) 质点的轨迹方程。
现往返。如果计算积分vdt，则求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分vdt。
002??令v?3t?t?0，解得t?3s。由此可知：t?3s时，v?0，v?v； t?3s时，v?0；而t?3s时，v?0，v??v。因而质点在0~4s时间内的路程为
3
s?2vdt?vdt?(?v)dt?3t?tdt?3t?t????dt ?????200303434341??31?1?3??t2?t3???t2?t3??6(m)。
3?0?23?33?21.8 在离船的高度为h的岸边，一人以恒定的速率v0收绳，求当船头与岸的水平距离为x时，船的速度和加速度。
解: 建立坐标系如题1.8图所示，船沿X轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方程，由图题1.8，可得出
O X
r h v0
x Y 习题1.8图
34x2?r2?h2
两边求微分，则有
2x船速为
dxdr?2r dtdtdxrdr ?dtxdtv?按题意
dr??v0(负号表示绳随时间t缩短)，所以船速为 dtx2?h2v??v0
x负号表明船速与x轴正向反向，船速与x有关，说明船作变速运动。将上式对时间求导，可得船的加速度为
2h2v0dva???3
dtx负号表明船的加速度与x轴正方向相反，与船速方向相同，加速度与x有关，说明船作变加
速运动。
4
1.9 一质点沿半径为10cm的圆周运动，其角坐标?(以弧度rad计)可用下式表示
??2?4t3
其中t的单位是秒(s)试问：(1)在t?2s时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？ (2)当?等于多少时其总加速度与半径成45角 ？
解：(1) 利用 ??2?4t3，??d?/dt?12t2，??d?/dt?24t，
得到法向加速度和切向加速度的表达式
24 an?r??144rt，at?r??24rt
在t?2s时，法向加速度和切向加速度为：
44?2 an?144rt?144?0.1?2?230.4(m?s)，
at?24rt?24?0.1?2?4.8(m?s?2)
(2) 要使总加速度与半径成45角，必须有an?at，即144rt4?24rt 解得 t3?1/6，此时 ??2?4t3?2.67rad
1.10 甲乙两船，甲以10km/h的速度向东行驶，乙以15km/h的速度向南行驶。问坐在乙船上的人看来，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？ 解：以地球为参照系，设i、j分别代表正东和正北方向，则甲乙两船速度分别为
??????v1?10ikm/h，v2??15jkm/h
根据伽利略变换，当以乙船为参照物时，甲船速度为
?????v?v?v?(10i?15j)km/h 1215?v?102?152?18.1km/h，??arctg?56.31?
10即在乙船上看，甲船速度为18.1km/h，方向为东偏北56.31?
同理，在甲船上看，乙船速度为18.1km/h，方向为西偏南56.31?。
1.11 有一水平飞行的飞机，速率为v0，在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度v向前射
击。略去空气阻力，
(1) 以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程； (2) 以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程；
(3) 以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？
2解：(1) 以地球为参照系时，炮弹的初速度为v1?v?v0，而x?v1t，y??0.5gt 消去时间参数t，得到轨迹方程为：
gx2（若以竖直向下为y轴正方向，则负号去掉，下同） y??2(v?v0)2gx2 (2) 以飞机为参照系时，炮弹的初速度为v，同上可得轨迹方程为y??2
2v
5
gx2 (3) 以炮弹为参照系，只需在(2)的求解过程中用?x代替x，?y代替y，可得 y?.
2v21.12如题1.12图，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为D，速率为v，一艘速率为u?v的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。试证明：如果快艇在尽可能最迟的时
Dv2?u2刻出发，那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为x?；快艇截
u住这条船所需的时间为t?Dvuv?u22。
Y
v D u ? X x 港口
习题1.12图
证明：在如图所示的坐标系中，船与快艇的运动方程分别为
?x1?vt ? 和
y?D?1拦截条件为：
?x2?x?ucos??t ?y?usin??t?2?x1?x2 即 ?y?y2?1所以
cos??t?vt?x?u ?D?usin??t?D?v?ucos??x?，
usin?x取最大值的条件为：dx/d??0，由此得到cos??u/v，相应地sin??1?(u/v)2。
因此x的最大值为
Dv2?u2x?
ux取最大值时对应的出发时间最迟。快艇截住这条船所需的时间为
6
t?DDv?。
usin?uv2?u2习题二答案 习题二
2.1 简要回答下列问题：
(1) 有人说：牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例，因而它是多余的.你的看法如何？
(2) 物体的运动方向与合外力方向是否一定相同？
(3) 物体受到了几个力的作用，是否一定产生加速度？ (4) 物体运动的速率不变，所受合外力是否一定为零？ (5) 物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？
(6) 为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值？
(7) 合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物体动能的增量？
(8)质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理与动能定理是否与惯性系有关？请举例说明. (9)判断下列说法是否正确，并说明理由：
(a)不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.
(b)内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒. (c)只有保守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.
(10) 在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？ (11) 放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何？为什么在空中焰火总是以球形
逐渐扩大？(忽略空气阻力)
2.2 质量为m质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力F??kv（k为常数）作用，
t?0时质点的速度为v0，证明：
（1）t时刻的速度为v?v0e?ktm；
?ktm]； （2）由0到t的时间内经过的距离为x?(mv0k)?[1?e（3）停止运动前经过的距离为mv0k。
证明： (1) 由 ma?mvdvdvk?F??kv 分离变量得 ??dt，积分得 dtvmtkvkdv?ktmv?veln??t??dt ，， 0?v0v?0mv0m 7
(2) x?vdt???t0v0e?kt/mdt?mv0(1?e?kt/m) k(3) 质点停止运动时速度为零，即t??，故有x????0v0e?kt/mdt?mv0。 k2.3一质量为10 kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t?0时，物体的速度为零，物体在力F?3?4t(N)(t以s为单位)的作用下运动了3s，求它的速度和加速度. 解. 根据质点动量定理,
?Fdt?mv?mv, ??3?4t?dt?mv
00022??3t?2t??03?3?2?3v???2.7(ms?1)
m10333根据牛顿第二定律，F?ma
a?
F?3?4t?t?33?4?3???1.5(m/s2) mm102.4 一颗子弹由枪口射出时速率为v0 ms-1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为
，其中t以秒为单位： F?(a?bt)N（a,b为常数）
（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；
（2）求子弹所受的冲量； （3）求子弹的质量。 解：
(1)由题意，子弹到枪口时，有F?(a?bt)?0, 得t?ta ba212a(2)子弹所受的冲量I??(a?bt)dt?at?bt，将t?代入，得I?
02b2bIa2(3)由动量定理可求得子弹的质量 m? ?v02bv0
???2.5 一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为r?acos?ti?bsin?tj，求质点
的动量及t?0到t??2?时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。 解：质点的动量为
p?mv?mr?m???asin?ti?bcos?tj?
将t?0和t??2?分别代入上式，得
8
p1?m?bj，p2??m?ai 动量的增量，亦即质点所受外力的冲量为
I?p2?p1??m?(ai?bj)
2.6 作用在质量为10kg的物体上的力为F?(10?2t)iN，式中t的单位是s。
（1）求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量；
（2）为了使这力的冲量为200Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和
一个具有初速度?6jm?s的物体，回答这两个问题。 解：(1)若物体原来静止，则
?1?p1??Fdt??(10?2t)idt?56i[kg?m?s?1]，沿x轴正向，
00t4?v1??p1?5.6i[m?s?1],I1??p1?56i[kg?m?s?1] m?1若物体原来具有初速度v0??6jm?s，则
p0??mv0,p(t)??mv0??Fdt
0t于是 ?p2?p(t)?p0??p1 同理， ?v2??v1,I2?I1
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即I?令10t?t?200，解得t?10s。
2.7 一小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。
L
2?(10?2t)dt?10t?t0t2
S人 S船 习题2.7图 解：由动量守恒 M船V船?m人v人?0
9
又 S船?t?V0t船dt，
s人??v人dt??0tM船m人0V船dt?M船m人S船，
如图，船的长度 L?S船?s人 所以 S船?L3.6??1.2m M船1001?1?50m人即船头相对岸边移动S船?1.2m
2.8 质量m?2kg的质点,从静止出发沿X轴作直线运动，受力F?(12t)i(N)，试求开始3s内该力作的功。
解 A?而
?LFxdx??(12t)dx??(12tvx)dt
L03Fx12tvx?vx0??axdt??dt??tdt?3t2
00m20tt所以
?36?A???12t?3t?dt??36tdt??t4??729(J)
00?4?0323332.9 一地下蓄水池，面积为s?50m，水深度为1.5m，假定水的上表面低于地面的高度是
25.0m，问欲将这池水全部抽到地面，需作功多少?
O
h0 y
h1 dy
Y 习题2.9图
解:建坐标如习题2.9图，图中h0表示水面到地面的距离，h1表示水深。水的密度为
10
??103kgm3，对于坐标为y、厚度为dy的一层水，其质量dm??sdy，将此层水抽到
地面需作功
dA?dmgy??sgydy
将蓄水池中的水全部抽到地面需作功
h0?h1h0?h1A??h0dA??h0?sgydy??sg??h0?h1??h02?
??122?1?sg?h12?2h0h1? 21??103?50?9.8??1.52?2?5.0?1.5??4.23?106(J) 22.9一炮弹质量为m，以速度v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其
速率分别为v?2kTm ，v?2Tkm。
证明：设一块的质量为m1，则另一块的质量为m2?km1。利用m1?m2?m，有 m1?mkm， m2? ① k?1k?1又设m1的速度为v1，m2的速度为v2，则有
T?1112m1v12?m2v2?mv2 ② 222m1v1?m2v2?mv [动量守恒] ③
联立①、③解得
v1?kv2?(k?1)v，v1?(k?1)v?kv2 ④
联立④、②解得
2T2T ?(v2?v)2，于是有v2?v?kmkm将其代入④式，有
?2T?v1?(k?1)v?k?v??v???km??2kT m2kT2T,v2?v?。 mkm又因为爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，当k?1时只能取 v1?v?2.10一质量为m的子弹射入置于光滑水平面上质量为M并与劲度系数为k的轻弹簧连着的木块后使弹簧最大压缩了L，求子弹射入前的速度v0.
11
M m v0
习题2.10图
解： 子弹射入木块到相对静止的过程是一个完全非弹性碰撞，时间极短，木块获得了速度，尚未位移，因而弹簧尚未压缩.此时木块和子弹有共同的速度v1，由动量守恒，
?m?M?v1?mv0
此后，弹簧开始压缩，直到最大压缩，由机械能守恒，
11?m?M?v12?kL2 22由两式消去v1，解出v0得 v0?Lk?m?M? m2.11质量m的物体从静止开始，在竖直平面内沿着固定的四分之一圆周从A滑到B。在B处时，物体速度的大小为vB。已知圆的半径为R，求物体从A滑到B的过程中摩擦力所作的功：(1)用功的定义求； (2)用动能定理求；(3)用功能原理求。
A
?
R
f
N
mg B
习题2.11图
解 方法一：当物体滑到与水平成任意?角的位置时，物体在切线方向的牛顿方程为
mgcos??f?mat?m即
dv dtdv dt ?f??mgcos??m注意摩擦力f与位移dr反向，且|dr|?Rd?，因此摩擦力的功为
|dr|dv
00dt?2vB12 ??mgR?cos?d??m?vdv??mgR?mvB002Af????2mgcos?Rd??m?vB 12
方法二： 选m为研究对象，合外力的功为
A??mg?f?N?dr
考虑到N?dr?0，因而
A?Af?mgcos??|dr|?Af?mgR由于动能增量为?Ek???????20cos?d??Af?mgR
12mvB?0，因而按动能定理有 21212，Af??mgR?mvB。 Af?mgR?mvB22
方法三：选物体、地球组成的系统为研究对象，以B点为重力势能零点。 初始在A点时，Ep0?mgR、Ek0?0
12mvB 212由功能原理知：Af??E?E1?E0?mv?mgR
2终了在B点时，Ep?0，Ek?经比较可知，用功能原理求最简捷。
2.12 墙壁上固定一弹簧，弹簧另一端连接一个物体，弹簧的劲度系数为k，物体m与桌面间的摩擦因素为?，若以恒力F将物体自平衡点向右拉动，试求到达最远时，系统的势能。 F f? X
习题2.12图
解：物体水平受力如图，其中fk?kx，f???mg。物体到达最远时，v?0。设此时物体的位移为x, 由动能定理有
fkm??F-kx-?mg?dx?0?0
0x即 Fx-12kx-?mgx?0 22?F??mg?
k2解出 x?2?F??mg?1系统的势能为 Ep?kx2?
2k2.13 一双原子分子的势能函数为
13
??r0?12?r0?6?Ep(r)?E0????2???
?r?????r??式中r为二原子间的距离，试证明： ⑴r0为分子势能极小时的原子间距； ⑵分子势能的极小值为?E0； ⑶当Ep(r)?0时，原子间距离为
r062；
d2EP(r)dEP(r)?0时，势能有极小值EP(r)min。由 证明：（1）当?0、2drdr6??r0?12?r012r06?dEP(r)d?r0???E0????2????12E0??13?7??0 drdr?r??r???r??r???r??r?得 ?0???0?
?r??r?所以r?r0，即r0为分子势能取极值时的原子间距。另一方面，
126?r012r06?d2EP(r)?12E0?1314?78? 2drr??r?137?72E0d2EP(r)?12E0?2?2??2?0，所以r?r0时，EP(r)取最小值。 当r?r0时，
dr2r0?r0r0?（2）当r?r0时，EP(r)min6??r?12???r00?E0????2?????E0
r??r0????0??6??r0?12?r0??（3）令EP(r)?E0????2????0，得到
?r?????r??66??r0?12r0?r0???r0??2?0r?，， ?2????????62?r???r????r??
2.14 质量为7.2×10-23kg，速度为6.0×107m/s的粒子A，与另一个质量为其一半而静止的粒子B相碰，假定这碰撞是弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为5×107m/s，求：
⑴粒子B的速率及偏转角； ⑵粒子A的偏转角。
v?A
14
? vA ?
? vB习题2.14图
解：两粒子的碰撞满足动量守恒
???mAvA?mAv'A?mBv'B
写成分量式有
mAvA?mAv'Acos??mBv'Bcos?
mAv'Asin??mBv'Bsin?
碰撞是弹性碰撞，动能不变：
11122mAvA?mAv'2?mv'ABB 222利用
mA?7.2?10?23kg， mB?mA?3.6?10?23kg， 2vA?6.0?107m/s，v'A?5.0?107m/s，
可解得
v'B?4.69?107m/s，??54?4'，??22?20'。
2.15 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为M1的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为r0时重物达到平衡。今在M1的下方再挂一质量为M2的物体，如题2-15图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度??和半径r?为多少？ r0m
M1
M2
15
习题2.15图
解：在只挂重物M1时，小球作圆周运动的向心力为M1g，即
2M1g?mr0?0 ①
挂上M2后，则有
(M1?M2)g?mr???2 ②
重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．
2222即 r0mv0?r?mv??r0?0?r??? ③
联立①、②、③得
?0?
M1g,mr0???M1g?M1?M2???mr0?M1?2/3,?M1?r?????M1?M2?3/2?r0
2.16 哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为r1?8.75?10m时的速率是v1?5.46?10ms4?110，它离太阳最远时的速率是v2?9.08?10ms2?1，这时它离太阳的
距离r2是多少？（太阳位于椭圆的一个焦点。）
解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有
rv r1mv1?2m 2rv8.75?1010?5.46?10411∴ r2???5.26?1012[m] 2v29.08?10
2.17 查阅文献，对变质量力学问题进行分析和探讨，写成小论文。
参考文献：
[1]石照坤，变质量问题的教学之浅见，大学物理，1991年第10卷第10期。 [2]任学藻、廖旭，变质量柔绳问题研究，大学物理，2006年第25卷第2期。 2.18 通过查阅文献，形成对惯性系的进一步认识，写成小论文。
参考文献：
[1]高炳坤、李复，“惯性系”考，大学物理，2002年第21卷第4期。 [2]高炳坤、李复，“惯性系”考(续)，大学物理，2002年第21卷第5期。
16
习题三答案 习题三
3.1简要回答下列问题：
(1) 地球由西向东自转，它的自转角速度矢量指向什么方向？ 作图说明.
(2) 刚体的转动惯量与那些因素有关？“一个确定的刚体有确定的转动惯量”这句话对吗？ (3) 平行于z轴的力对z轴的力矩一定为零，垂直于z轴的力对z轴的力矩一定不为零.这种说法正确吗？
(4) 如果刚体转动的角速度很大，那么作用于其上的力是否一定很大？作用于其上的力矩是否一定很大？
(5) 两大小相同、质量相同的轮子，一个轮子的质量均匀分布，另一个轮子的质量主要集中在轮子边缘，两轮绕通过轮心且垂直于轮面的轴转动。问：(a)如果作用在它们上面的外力矩相同，哪个轮子转动的角速度较大？(b)如果它们的角加速度相同，哪个轮子受到的力矩大？(c)如果它们的角动量相等，哪个轮子转得快？
(6) 为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能
只与外力矩有关，而与内力矩无关？
(7) 下列物理量中，哪些与参考点的选择有关，哪些与参考点的选择无关：(a) 位矢；(b)位移；(c)速度；(d)动量；(e)角动量；(f)力；(g)力矩.
(8) 做匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心并与圆平面垂直的轴上任一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？ (9) 一人坐在角速度为?0的转台上，手持一个旋转着的飞轮，其转轴垂直于地面，角速度为?'。如果忽然使飞轮的转轴倒转，将发生什么情况？设转台和人的转动惯量为I，飞轮的转动惯量为I'。
3.2质量为m长为l的均质杆，可以绕过B端且与杆垂直的水平轴转动。开始时，用手支住A端，使杆与地面水平放置，问在突然撒手的瞬时，(1)绕B点的力矩和角加速度各是多少？(2)杆的质心加速度是多少？
B A ?
习题3.1图
解：(1)绕B点的力矩M由重力产生，设杆的线密度为?，?? M?m，则绕B点的力矩为 l?mg0ml1xdG??gxdm??gx?dx?mgl
002 17
122xdm?x?dx?ml ?0?03M3g角加速度为 ?? ?I2ll3 (2)杆的质心加速度为 a???g
24 杆绕B点的转动惯量为 I?m2l
3.3 如图所示，两物体1和2的质量分别为m1与m2，滑轮的转动惯量为I，半径为r。
⑴如物体2与桌面间的摩擦系数为?，求系统的加速度a及绳中的张力T1与T2 (设绳子与滑轮间无相对滑动)；
⑵如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a及绳中的张力T1与T2。 T2 m2
T1 m1
习题3.2图
解：⑴先做受力分析，物体1受到重力m1g和绳的张力T1，对于滑轮，受到张力T1和T2，
对于物体2，在水平方向上受到摩擦力?m2g和张力T2，分别列出方程
m1g?T1?m1a [T1?m1?g?a?] T2??m2g?m2a [T2?m2?a??g?]
?T1?T2?r?M?I??I通过上面三个方程，可分别解出三个未知量
a rm1??m2?gr21???m1r2g??Ig1???m2r2g?Ig???a?，T1?m1，T2?m2 222?m1?m2?r?I?m1?m2?r?I?m1?m2?r?I⑵ 在⑴的解答中，取??0即得
m1gr2m2r2g?Igm1m2r2g， T1?m1，T2?。 a?222?m1?m2?r?I?m1?m2?r?I?m1?m2?r?I3.4 电动机带动一个转动惯量为I=50kg·m2的系统作定轴转动。在0.5s内由静止开始最后达
18
到120r/min的转速。假定在这一过程中转速是均匀增加的，求电动机对转动系统施加的力矩。
解：由于转速是均匀增加的，所以角加速度?为
??从而力矩为
??120r/min?2?rad/r??8?rad/s2 ?t0.5s?60s/minM?I??50?8??1.257?103kgm2s?2
3.5 一飞轮直径为0.30m，质量为5.00kg，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由
静止均匀的加速，经0.50s转速达到10r/s。假定飞轮可看作实心圆柱体，求：
⑴飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数； ⑵拉力及拉力所作的功；
⑶从拉动后t=10s时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。 解：⑴ 飞轮的角加速度为
????10r/s?2?rad/r??125.7rad/s2 ?t0.5s 转过的圈数为
1?10r/s?0.5s?2.5r 212 ⑵ 飞轮的转动惯量为 I?mr， 所以，拉力的大小为
2MI?110.3 F???mr???5??125.7?47.1(N)
rr222 n? 拉力做功为
47.1?2.5?3.1?4 W?FS?F??nd? ⑶从拉动后t=10s时，轮角速度为
0.?3 1J1 ????t??125.7?10?1.257?10(rad/s) 轮边缘上一点的速度为
v????r?1.257?10?0.15?188(m/s) 轮边缘上一点的加速度为
a??r?125.7?0.15?18.8(m/s)。
3.6 飞轮的质量为60kg，直径为0.50m，转速为1000r/min，现要求在5s内使其制动，求制动力F。假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ=0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺寸如图所示。 F0.5m0.75m
?A 闸瓦
233d?19
习题3.6图
解：设在飞轮接触点上所需要的压力为F?，则摩擦力为?F?，摩擦力的力矩为?F?制动过程中，摩擦力的力矩不变，而角动量由mvd，在2d变化到0，所以由 ?Mdt?L?L0有 2ddd ?F?t?m??
222解得F??m?d0.5?785.4N。由杆的平衡条件得 F?F??314.2N。 2?t1.253.7 弹簧、定滑轮和物体的连接如图3.7所示，弹簧的劲度系数为2.0N m-1；定滑轮的转动
惯量是0.5kg m2，半径为0.30m，问当6.0kg质量的物体落下0.40m时，它的速率为多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长。
习题3.7图
解：当物体落下0.40m时，物体减少的势能转化为弹簧的势能、物体的动能和滑轮的动能， 即
1212Iv2 mgh?kh?mv?， 2222r 将m?6kg，g?9.8kgm/s，h?0.4m，I?0.5kgm，r?0.3m代入，得 v?2.01m/s
3.8 在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为m的人。圆盘的半径为R，转动惯量为J，角速度为?。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。 解：系统的角动量在整个过程中保持不变。
人在盘边时，角动量为 L?I??J?mR? 人走到盘心时角动量为 L?I????J??
22?2??J?mR??
因此 ???2J人在盘边和在盘心时，系统动能分别为
11?J?mR2?2112222? W1?m?R?J?，W2?J???22J222 20
11m2R4222? 系统动能增加 ?W?W2?W1?m?R?22J3.9 在半径为R1，质量为m的静止水平圆盘上，站一质量为m的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半径为R2[R2?R1]的圆周匀速地走动时，设他相对于圆盘的速度为v，问圆盘将以多大的角速度旋转？ 解：整个体系的角动量保持为零，设人匀速地走动时圆盘的角速度为?，则
2 L?L人?L盘?m?v??R2?R2?11??0 2mR 解得 ???2R2v 22R1?2R23.10 如题3.10图示，转台绕中心竖直轴以角速度?0作匀速转动。转台对该轴的转动惯量m2。现有砂粒以1g/s的速度落到转台，并粘在台面形成一半径r=0.1m的圆。J=5×10-5 kg·
试求砂粒落到转台，使转台角速度变为12?0所花的时间。
习题3.10图 解：要使转台角速度变为12?0，由于砂粒落下时不能改变体系角动量，所以必须要使体系
2的转动惯量加倍才行，即 m沙粒r?J。将J?5?10?5kg?m2和r?0.1m代入得
m沙粒?5?10?3kg
5?10?3kg?5s 所以 t?1g/s3.11 一脉冲星质量为1.5×1030kg，半径为20km。自旋转速为2.1 r/s，并且以1.0×10-15r/s的变化率减慢。问它的转动动能以多大的变化率减小？如果这一变化率保持不变，这个脉冲星经过多长时间就会停止自旋？设脉冲星可看作匀质球体。
22mr 512122 转动动能为 W?I??m?r
25解：脉冲星的转动惯量为 I? 21
转动动能的变化率为
dW22d? ?mr?dt5dt42?0.4?1.5?10??2?1030??2.1?2???1.0?10?15?2???1.99?1025J/s
由??d?，???t，得停止自旋所需要的时间为 dt?2.1r/st???2.1?1015s ?152?1.0?10r/s3.12 两滑冰运动员，质量分别为MA=60kg，MB=70kg，它们的速率VA=7m/s，VB=6m/s，在相距1.5m的两平行线上相向而行，当两者最接近时，便拉起手来，开始绕质心作圆周运动并保持两者间的距离为1.5m。求该瞬时：⑴系统的总角动量；⑵系统的角速度；⑶两人拉手前、后的总动能。这一过程中能量是否守恒，为什么？
解：⑴设两滑冰运动员拉手后，两人相距为s，两人与质心距离分别为rA和rB，则 rA?MBMAs ， rB?s
MA?MBMA?MB 两人拉手前系统总角动量为
L?LA?LB?MAVArA?MBVBrB?MAMB2?VA?VB?s?630kgm/s
MA?MB ⑵设两人拉手后系统的角速度为?，由于两人拉手后系统角动量不变
22 L?MArA??MBrB?
所以， ??VA?VBL??8.67rad/s 2sMArA?MBrB2 ⑶两人拉手前总动能为： W1?11MAVA2?MBVB2?2730J 22 拉手后，由于整个体系的动量保持为零，所以体系动能为 W2?111MAMB22?VA?VB?2?2730J MArA??MBrB2?2?222MA?MB所以体系动能保持守恒。可以算出，当且仅当MAVA?MBVB时，体系能量守恒，否则能量会减小，且
??W?W1?W2?1?MAVA?MBVB?2
2?MA?MB?3.13一长l=0.40m的均匀木棒，质量M=1.00kg，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时 棒自然地竖直悬垂。现有质量m=8g的子弹以v=200m/s的速率从A点与O点的距离为34l，如图。求：⑴棒开始运动时的角速度；⑵棒的最大偏转角。 ?
22
习题3.13图
2?1mvl?0.48kgms 解：系统绕杆的悬挂点的角动量为 L?3434
129Ml?ml2?0.054kgm2 316L所以 ???8.88rad/s
I子弹射入后，整个系统的转动惯量为 I?⑵子弹射入后，且杆仍然垂直时，系统的动能为
2I??2.13J W动?12 当杆转至最大偏转角?时，系统动能为零，势能的增加量为
3 ?W势?1 2Mgl?1?cos???4mgl?1?cos??? 由机械能守恒，W动??W势 得??94.24
3.14 通过查阅文献，探讨计算刚体转动惯量的简化方法，写成小论文。
参考文献：周海英、陈浩、张晓伟，巧算一类刚体的转动惯量，大学物理，2005年
第24卷第2期。
3.15 通过上网搜寻，查找对称陀螺规则进动在生活、生产中的应用事例，并进行分类。
23
习题四参考解答
4.1 惯性系K'相对惯性系K以速度u运动。当它们的坐标原点O与O重合时，t?t?0。
在惯性系K'中一质点作匀速率圆周运动，轨道方程为
2 ?x????y???a，z??0，
22'' 试证：在惯性系K中的观测者观测到该质点作椭圆运动，椭圆的中心以速度u运动。 提示：在惯性系K中的观测者观测到该质点的轨道方程为
(x?ut)2y2 2?2?1。 2a(1??)a证明：根据洛仑兹坐标变换关系 x??x?ut1??2, y??y, z??z
(x?ut)222代入原方程中，得到 ?y?a21??(x?ut)2y2化简得 2??1
a(1??2)a2所以，在K系中质点做椭圆运动，椭圆中心以速度u运动。
4.2 一观测者测得运动着的米尺长0.5m，问此米尺以多大的速度接近观测者？ 解：由相对论长度缩短关系 L?L01??v/c?
2得到 v?c1??L/L0??3.0?10?1??1/2??2.6?10m/s
2828
4.3 如题图4.3所示，在K系的O?X?Y?平面内放置一固有长度为?0的细杆，该细杆与x?轴的夹角为??。设K系相对于K系沿x轴正向以速率u运动，试求在K系中测得的细杆的长度?和细杆与x轴的夹角?。 Y Y?
'''?? O O X，X?
题图4.3
??x??l0cos??解：细杆在K?系中的两个坐标上的投影分别为 ?
????y?l0sin?
24
细杆在K系中的两个坐标上的投影分别为
22???x?1??u/c??x??l01??u/c?co?s? ?
?????y??y??l0sin在K系中细杆的长度为
l??x2??y2?l01??u/c?cos2???sin2???l01??ucos??/c?
22??与X轴正向夹角?为 ??arctan?arct?an
?y?x?tg???22?1?u/c?? ??4.4 一飞船以9?10ms的速率相对于地面[假设地面惯性系]匀速飞行。若飞船上的钟走
了5s的时间，用地面上的钟测量是经过了多少时间？ 解：根据相对论中时间延长关系 T?3?1T01?(v/c)2
代入数据，可得 T?
51?[9?10/(3?10)]382?5.0000000s 024.5 已知?介子束的速度为0.73c[c为真空中的光速]，其固有平均寿命为2.5?10s，
在实验室中看来，?介子在一个平均寿命期内飞过多大距离？ 解：根据相对论中时间延长关系 T????8T01?(v/c)2
代入数据，可得 T?2.5?10?81?0.7328?3.658?10?8s
?8因此 S?vT?0.73?3?10?3.658?10
?8.01m
4.6 惯性系K?相对另一惯性系K沿x轴作匀速直线运动，在惯性系K中观测到两个事件
同时发生x轴上，且其间距是1m，在K?系观测到这两个事件的空间间距是2m，求K?系中测得的这两个事件的时间间隔。
解：由相对论的同时性的两个等价关系
?t??u?x?v/c2 (1) ?t???x??v/c2 (2)
联立两式得到
u?x??x? ? u?代入(2)式中得到
?x?1?x? ? ? v?c1?(?x/?x?)2 ??x1?(v/c)2?x 25
?t???x??v/c2??x??1?(?x/?x?)2/c?2?1?(1/2)2/(3?108)?5.77?10?9s
4.7论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同的地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时发生。
证明：令在某个惯性系中两事件满足 ?t?0， ?x?0
则在有相对运动的另一个惯性系中(相对运动速度为v),两事件的时间间隔是
?t??u(?t??x?v/c)??u?x?v/c??由于 ?x?0， v?0且v??c
所以 ?t??0，即两事件一定不同时发生。
22?x?v/c21?(v/c)2
4.8 试证明：(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两
个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短；(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短。
证明(1) 设两事件在某惯性系中于同一地点发生，即?x?0，时间间隔为?t，则在另一个相对运动速度为v的惯性系中，两事件的时间间隔为
?t??u(?t??x?v/c2)?u?t??t1?(v/c)2??t
所以，在原惯性系中时间间隔最短。
证明(2) 设两事件在某惯性系中于同时发生，即?t?0，时间间隔为?x，则在另一个相对运动速度为v的惯性系中，两事件的时间间隔为
?x??u(?x?v?t)?u?x?所以，在原惯性系中空间间隔最短。
?x1?(v/c)2??x
4.9 若电子A和电子B均以0.85c[c为真空中的光速]的速度相对于实验室向右和向左飞
行，问两者的相对速度是多少？ [ 答案：0.99c]
4.10 一光源在K?系的原点O?发出一光线。光线在O?X?Y?平面内且与x?轴的夹角为??。
设K?系相对于K系沿x轴正向以速率u运动。试求在K系中的观测者观测到此光线与x轴的夹角?。
s??Vx??cco?解：光线的速度在K?系中两个速度坐标上的投影分别为 ?
??V?csin??y由速度变换关系
u2Vy?1?2?u?Vxc
Vx? ， Vy?V??uu1?2Vx?1?x2cc26
则在K系中速度的两个投影分别为
ccos???ucsin??1?u2/c2Vx?， Vy?
uccos??uccos??1?1?2cc2所以，在K系中的观测者观测到此光线与x轴的夹角??arctan
4.11 如果一观测者测出电子的质量为2m0[m0为电子的静止质量]，问电子的速度是多大？ 解：由相对论质量关系 m?VyVx
m01?(V/c)2
而且 m?2m0 得到 V?
4.12 如果将电子由静止加速到0.1c [c为真空中的光速] 的速度，需要对它作多少功？速度从0.9c加速到0.99c，又要作多少功？
解(1) 由相对论动能定理：
3c?0.866c 2Aab??ba???11222F?dr?mbc?mac?m0c??22?1?(V/c)1?(V/c)ba??? ??因为 Va?0， Vb?0.1c 代入得到 Aab?m0c?2???1??0.005m0c2?4.095?10?16J?2.56Kev 2?1?0.1?1(2) 将 Va?0.9c， Vb?0.99c代入原式
?11Aab?m0c2??21?0.92?1?0.99
?2?133??4.7946m0c?3.93?10J?2.46?10Kev ?4.13 在什么速度下粒子的动量是其非相对论动量的两倍？在什么速度下粒子的动能等于它
的静止能量？
解(1) 由相对论动量公式 p?mV?m0V1?(V/c)2
而且 p?2m0V
27
联立两式 m?2m0 ? V?3c?2.6?108ms?1 222(2) 由相对论动能公式 EK?mc?m0c 2而且 EK?2m0c
联立两式 m?2m0 ? V?
4.14 静止质量为9.1?10?313c?2.6?108ms?1 2kg的电子具有5倍于它的静能的总能量，试求它的动量和速率。
[提示：电子的静能为E0?0.511MeV] 解：由总能量公式 E?mc 而且 E?5E0 ? m?25E0 (1) 2c其中 m?m01?(v/c)2 (2)
联立(1)、(2)两式
24m0c(9.1?10?31)2?(3?108)4?c1??0.98c V?c1?26?19225E025?(0.511?10?1.6?10)将(1)式代入动量公式
p?mV?
5E05?0.98?0.51Mev2.5Mev?0.98c??
ccc24.15 一个质量为M的静止粒子，衰变为两个静止质量为m1和m2的粒子，求这两个粒子的
动能。[提示：利用能量守恒和动量守恒关系] 解：令两粒子的动能分别为EK1与EK2
由相对论能量守恒得到 Mc?EK1?EK2?m1c?m2c (1)
2222422由相对论动量和能量的关系 E?pc?m0c?(EK?m0c)
2222EK得到 p?2?2m0EK
c2 28
由相对论动量守恒p?p联立(1)、(2)两式解得
2122得到
2EK1c2?2m1EK1?2EK2c2?2m2EK2 (2)
c2c222?M?m1??m2，Ek2??M?m2?2?m12 Ek1?2M2M????
29
习题五参考解答
5.1 简答下列问题：
（1） 什么是简谐振动？分别从运动学和动力学两方面作出解释。一个质点在一个使它返
回平衡位置的力的作用下，它是否一定作简谐振动？
（2） 在什么情况下，简谐振动的速度和加速度是同号的？在什么情况下是异号的？加速
度为正值时，振动质点一定是加快地运动吗？反之，加速度为负值时，肯定是减慢地运动吗？
（3） 同一弹簧振子，如果它在水平位置是作简谐振动，那么它在竖直悬挂情况下是否仍
作简谐振动？把它装在光滑斜面上，它是否仍将作简谐振动？ （4） 如果某简谐振动振动的运动学方程是y?Acos(n?t??)，那么这一振动的周期是多少？
（5） 在地球上，我们认为单摆(在小角幅下)的运动是简谐振动，如果把它拿到月球上，
那么，振动周期将怎样改变？
（6） 什么是位相？一个单摆由最左位置开始摆向右方，在最左端位相是多少？经过中点、
到达右端、再回中点、返回左端等各处的位相是多少？
（7） 初位相是个什么物理量？初位相由什么确定？如何求初周相？试分别举例说明：
(a)已知初始状态，如何确定初位相；(b)已知初位相，如何确定初始状态。
5.2 一质点作简谐振动x?6cos(100?t?0.7?)cm。某时刻它在x?32cm处，且向X轴负向运动，它要重新回到该位置至少需要经历的时间为
(A)
答案：(B)
1313s; (B) s; (C) s; (D) s。 1002005050x?6cos(100?t?0.7?)?Acos(?t??)
Y
? A ??t?2???/2 ?/4 O X 如图：
30
x1?32?Acos??/4??Acos(?t1??),v1?0
x2?32?Acos?3?/2??/4??Acos(?t2??),v2?0
位相差
??t?3?/2
?t?3?/2??3?/[2?100?]?3/200s
5.3 以频率?作简谐振动的系统，其动能和势能随时间变化的频率为
(A) ?/2； (B) ?； (C) 2?； (D) 4?。
答案：(C)
Ep?cos2(?t??)?12?1?cos(2?t?2?)? Ek?sin2(?t??)?12?1?cos(2?t?2?)?
5.4 劲度系数为100N/m的轻弹簧和质量为10g的小球组成的弹簧振子，第一次将小球拉离平衡位置4cm，由静止释放任其运动；第二次将小球拉离平衡位置2cm并给以2cm/s的初速度任其振动。这两次振动能量之比为
(A) 1:1; (B) 4:1; (C) 2:1; (D) 22:3。
答案：(C)
22211 E1?12kx1， E2?2kx2?2mv2
221?x2?m?v2?111E212kx2?2mv2?? ???????? 21E1kx4421?x1?k?x1?2225.5 一谐振系统周期为0.6s，振子质量为200g，振子经平衡位置时速度为12cm/s，则再经
0.2s后振子动能为
(A) 1.8?10J； (B) 0; (C) 1.44?10J; (D) 3.0?10J。 答案：(D)
?4?3?5x0?Acos??0，cos??0?????2，
v0??A?sin??0.12?0? sin??0????22221 Ek?12mv?2m?Asin(?t??)
?2，A??v0
22221?12mv0sin(0.2???/2)?2mv0sin(0.2?2?/T??/2)
?0.1??12?10?22?sin(2?/3??/2)?0.1??12?102?22?sin2(?/6)
?3.0?10?5J
31
5.6 一弹簧振子系统竖直挂在电梯内，当电梯静止时，振子谐振频率为v0。现使电梯以加速度a向上作匀加速运动，则其谐振频率将
(A) 不变； (B) 变大； (C) 变小； (D) 变大变小都有可能
答案：(A)
a
fx??kx?m(g?a)
d2x kx m2?fx??kx?m(g?a)
dtd2xm?? m(g?a) m2??k?x?(g?a)?
dtk??d2x?m?? m2??kx?，x???x?(g?a)?
kdt?? X
5.7 将一物体放在一个沿水平方向作周期为1s的简谐振动的平板上，物体与平板间的最大静摩擦系数为0.4。要使物体在平板上不致滑动，平板振动的振幅最大只能为
(A) 要由物体质量决定； (B) 2/g; (C) g/(10?); (D) 0.4cm 答案：(C) f
a 2 最大静摩擦力为fm?0.4mg，最大加速度为am?A?
2 由fm?mam得
0.4mg?mA?2?A?0.4g/?2?0.4gT2/(2?)2?g/(10?2)
5.8 两分振动方程分别为x1?3cos(50?t?0.25?)cm和
x2?4cos(50?t?0.75?)cm，则它们合振动的表达式为
(A) x?cos(50?t?0.25?)cm; (B) x?5cos50?tcm; (C) x?5cos?50?t????1??tg?1?cm; 27?(D) x?7cm。 答案：(C)
32
?2?3?5.9 质量为m?10?10kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.5?10cos?8?t?13?的
规律作简谐振动，式中 t以秒为单位，x以米为单位。试求：
(1) 振动的圆频率、周期、振幅、初位相以及速度和加速度的最大值； (2) 求t?1s,2s,10s时刻的位相。
(3) 利用Mathematica绘出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。
解(1)：??8?s , T??12???0.25s , A?0.5?10?2m , ?0?13?
?V??4??10?2sin?8?t?1?4??10?2?0.126ms?1 3? ? Vmax?a??32?2?10?2cos?8?t?1?32?2?10?2?3.16ms?2 3? ? amax(2) ? ??8?t??3
25?
33?49?2?16????
33?241?10?80????
335.10 劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的物体按题图5.10所示的两种方式连接
??1?8????试证明它们的振动均为谐振动。
k1 m k2 k1 k2 m
题图5.10
证明：(1)当物体向右移动x时，左端弹簧伸长x，而右端弹簧缩短x，它们对物体作用力方向相同，均与物体位移方向相反，所以
f??k1x?k2x??(k1?k2)x
因此物体将作简谐振动。
(2) 设两弹簧分别伸长x1与x2，则弹簧对物体的作用力 f??k2x2 对两弹簧的连接点有: k1x1?k2x2 且 x?x1?x2 解此两式： x2?k1x
k1?k2 33
代入f中： f??因此物体将作简谐振动。
k1k2x
k1?k25.11 如题图5.11所示，质量为m的物体放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角?，弹簧的
劲度系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R。先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动。
m k ? 题图5.11
证明：取未用手托系统静止时m的位置为平衡位置，令此点位坐标原点，弹簧伸长x0，则有： mgsin??kx0 (1) 当物体沿斜面向下位移为x时，则有：
mgsin??T1?ma (2) T1R?T2R?I? (3) T2?k(x0?x) (4)
a?R? (5)
将(2)与(4)代入(3),并利用(5),可得
I)a?mgRsin??kx0R?kxR RkR利用(1)式，得到 a??x
ImR?R(mR?所以，物体作的是简谐振动。
5.12 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表
出。如果t?0时质点的状态分别是： (1) x0??A；
(1) 过平衡位置向x轴正向运动； (3) 过x?12A处向x轴负向运动；
34
(4) 过x?12A处向x轴正向运动。
试用旋转矢量图方法确定相应的初位相，并写出振动方程。 Y (3) A ??/3 (1) O X ??/4
(4) (2)
解：令振动方程为：x?Acos??2??t??? ?T??2??t??? ?T?(1) ?t?0,x0??A，?cos???1 ? ???，?x?Acos?(2) ?t?0,x0?0，?cos??0 ?
????2
?V0?0 ? sin??0 ? ???(3) ?t?0,x0??2，?x?Acos????2?t??
2??TA1?，?cos?? ? ??? 223?V0?0 ? sin??0 ? ???3，?x?Acos????2?t??
3??T(4) ?t?0,x0?A2，?cos??2? ? ??? 24?V0?0 ? sin??0 ? ???
?4，?x?Acos????2?t??
4??T5.13 一质量为10?10kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时，位移
?3 35
为24cm。求：
(1) t?0.5s时，物体所在的位置； (2) t?0.5s时，物体所受力的大小和方向；
(3) 由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； (4) 在x?12cm处物体的速度、动能、系统的势能和总能量。 解：设物体的振动方程为 x?Acos(?t??) 由于 A?24cm， T?4s ?
??2??? T2???t? ?2?由于 t?0,x0?24cm ? cos??1 ? ??0，因此 x?24cos?(1) 将 t?0.5s代入，得到 x?24cos2?4?122?16.97cm?0.17m
?3(2) f??m?x 将t?0.5s代入，得到f??10?10负号表示方向与x轴方向相反。 (3) 将x?12m代入x?24cos???24?0.17??4.2?10?3N
2??????1t?中，得到 cos?t?? ?t?s
3?2??2?2(4) V??12??10?232?????0.326ms?1 sin?t? ，将t?s代入得V??12??10?2?23?2?EK?11mV2??10?10?3?36?3??2?10?4?5.33?10?4J 22k?25?22?3??10kgs?2 ? k?m??10?10?m42由 ??1215?2?10?3?0.122?1.78?10?4J 因此 EP?kx??222E?EK?EP?5.33?10?4?1.78?10?4?7.11?10?4J
5.14 有一轻弹簧，下端悬挂一质量为0.1kg的砝码，砝码静止时，弹簧伸长0.05m。如果我们再把砝码竖直拉下0.02m，求放手后砝码的振动频率和振幅。
解：取砝码静止时的位置为平衡位置，并令为坐标原点，向下为正方向，则有
mg?kx0 ? k?mg/x0
当下拉x位置时，砝码所受回复力为
36
f??k(x0?x)?mg??kx
因此砝码作简谐振动 a?fk??x ? ??mmk mv??1?2?2?k1?m2?mg/x01?m2?g?2.2Hz x0将初始条件 x0?0.02m,V0?0 代入振幅公式：
20A?x?
V02?2?0.02m
5.15 一轻弹簧的劲度系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子。现有一质量为m的物体从
离盘底为h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动。若以物体落到盘底时为计时零点、以物体落到盘子后的平衡位置为坐标原点、以向下为x轴正向，求盘子的振动方程。
解：令m与M系统处于平衡位置处为坐标原点，向下为正方向
m未下落时，满足: Mg?kx1
m与M平衡位置处: (m?M)g?k(x1?x2)
联立解得 x2?mg k由动量守恒： mV?(m?M)V? 且 V?2gh
得到 V??m2gh
m?Mm?M2?? ? ??kTk
m?M而且它们共同振动的周期 T?2?将初始条件 t?0，x0??x2，V0?V??m2gh代入振幅及位相公式：
m?MA?x?20V02?2?m2g22m2gh/(m?M)2mg2kh??1? 2k/(m?M)k(M?m)gktan???V02kh ??x0(m?M)g 37
由于 x0?0， V0?0 ? 因此
??(?,3?) 2??arctg2kh??
(M?m)g将已求出的A、?和?代入x?Acos(?t??)中，即可得振动方程为
x???mg2khk2kh? 1?cos?t?arctg????k(M?m)g(M?m)g?M?m?5.16 一个水平面上的弹簧振子(劲度系数为k，所系物体质量为M)，当它作振幅为A、周
期为T、能量为E的无阻尼振动时，有一质量为m的粘土从高度h处自由下落。当M达到最大位移处时粘土正好落在M上，并粘在一起，这时系统的振动周期、振幅和振动能量有何变化？如果粘土是在M通过平衡位置时落在M上，这些量又如何变化？
解:原周期为T0?2?mm?M?T ，两种情况下周期都变为T1?T2?2?kk(1) 当M达到最大位移处时粘土正好落在M上时，此时物体水平速度为零 动量守恒得到： MV0?(m?M)V1 且 V0?0 ? V1?0 将初始条件 x0?A， V0?V1?0代入振幅公式
?V?2A1?x0??0??A ? E1?E
??1?(2) 当粘土在M通过平衡位置时落在M上时，由水平方向动量守恒得到
MV0?(m?M)V2 且 V0??0A ? V2?2MA?0
m?M将初始条件 x0?0，V0?V2?2MA?0 ，代入振幅公式：
m?MV0?V0?MA?0MAT2M2?A2?x0????????A?A ????2m?M?2m?MT0m?M?2?M2E?E 由E?A ? E2?m?M
5.17 一单摆的摆长l?1.0m，摆球质量m?0.01kg，当摆球处在平衡位置时，若给小球一个水平向右的冲量I?50?10?2kg?m?s?1，取打击时刻为计时起点(t?0)，求振动的初位
相和角振幅[设摆角向右为正]。
(t??)，将初始条件 t?0，??0代入 解：由单摆的动力学方程 ???mcos?
38
得到 cos??0? ????2。由于 V0?0? sin??0?????2
?d???m?cos?t ????mcos(?t?)??msin?t ?
2dt其中 ??gd?I0.5?9.8?3.13s?1， 初始时刻 ???50s?1 ldtml0.01?m?d?/dt????50?15.97rad 3.135.18 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为
x1?0.04cos?2t???5????[式中x以米计，t以秒计] ?，x2?0.03cos?2t?66???试分别用旋转矢量法和代数法求合振动的振幅和初位相，并写出合振动的方程。 解：由题意 A1?0.04，A2?0.03， ?1??6， ?2??5? 6由于 ????2??1??? ? A?A1?A2?0.01m
tan??A1sin?1?A2sin?2?3 ? ?? ?6A1cos?1?A2cos?23??因此，合振动方程为 x?0.01cos?2t???? 6?
5.19 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动的
位相差为16?，已知第一振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差。
解：由分振动与合振动的三角形关系： A2?A1?A?2A1Acos
222?6代入数据 A2?0.01m ? A2?0.1m 由于 A?A1?A2?2A1A2cos??
2A2?A12?A2?得到 co?s???0 ? ???
22A1A22222
5.20 试借助旋转矢量图求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：
39
????????x?5cos3t?cmx?5cos3t?????cm?1?133??????1?? ?2?? ?7??4???x?5cos??x?5cos?3t?cm3t?????cm22??33??????解(1)：由题意：A1?5，A2?5， ?1??3， ?2?7? 3由于 ????2??1?2? ? A?A1?A2?10cm?0.1m (2) 由题意：A1?5，A2?5， ?1??3， ?2?4? 3由于 ????2??1?? ? A?A1?A2?0 5.21 质量为0.1kg的质点同时参与两个互相垂直的简谐振动：
s x?0.06co?????????t??，y?0.03cos?t??，式中x以米计，t以秒计。
3?6??3?3(1) 求质点的运动轨道方程；(2) 求质点在任一位置所受的作用力；(3) 利用Mathematica，
绘出合成振动的轨迹。 解：(1) 由于 x?0.06cos?????????t???0.06sin?t??
3?6??3?3x2y2??1 结合y的表示式，得到轨道方程为： 220.060.03?????2(2) F?Fxi?Fyj??m?(xi?yj) ??0.1??2????????????0.06cost?i?0.03cost?????j? ?9?3?6???3?3????????????0.0066cos?t??i?0.0033cos?t??j
3?6??3?3
5.22一质点同时参与两个互相垂直的简谐振动：x?Acos2?t，y?Acos3?t，求质点的运动轨道方程。
cos6?t?1A2?(cos6?t?1) 解：由于 y?Acos3?t ? y?Acos3?t?A222222cos6?t?cos(4?t?2?t)?cos4?tcos2?t?sin4?tsin2?t ?(2cos22?t?1)cos2?t?2sin22?tcos2?t
40
x2x2由于 x?Acos2?t ? cos2?t? ? sin2?t?1?2
AA?2x2?xx?x2?4x33x所以 cos6?t???A2?1??A?2A??1?A2???A3?A
????A2代入y得到：y?222?4x33x?2x33AxA2??A3?A?1???A?2?2 ??233AA2x?所求轨道方程为：y?x?
A2225.23 某质点的位移可用两个简谐振动的迭加来表示：x?Asin?t?2Asin2?t
(1) 写出这质点的速度和加速度表示式；(2)这运动是否简谐振动？(3)画出其x?t图线。 解：(1) V?dx?A?cos?t?4A?cos2?t dtdVa???A?2sin?t?8A?2sin2?t
dt(2) 由于a与x不成正比，所以不是简谐振动。
(3) 取A?2,??1，执行Mathematica 命令
Plot2Sint4Sin2t,t,0,2Pi
立即得到x?Asin?t?2Asin2?t的x?t图线，如下图。
421-223456-4
41
习题六参考解答
6.1 简要回答下列问题：
(1) 振动和波动有什么区别和联系？
(2) 平面简谐波的波动方程和简谐振动的振动方程有什么不同？又有什么联系？ (3) 振动曲线和波形曲线有什么不同？ (4) 平面简谐波波动方程y?Acos???t??????xx?中的表示什么？如果将波动方???0?cc??程改写为y?cos??t????x??x??0?，又是什么意思？ cc?(5) 波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处？t?0时刻是否一定是波源开始振动的时刻？波动方程写成y?Acos??t???x??时，波源一定在坐标原点处吗？在c?什么前提下波动方程才能写成这种形式？如果波源在x??10m处或在x?5m处，则对此波动方程的适用范围要作怎样的限制？
(6) 波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别？
6.2 下述说法中哪些是正确的？
(A) 波只能分为横波和纵波； (B) 波动质点按波速向前运动；
(C) 波动中传播的只是运动状态和能量； (D) 波经过不同媒质传播过程中波长不变。 答案：(C)
6.3 对于机械横波，
(A) 波峰处质元的动能、势能均为零；
(B) 处于平衡位置的质元势能为零、动能为最大； (C) 处于平衡位置的质元动能为零、势能为最大； (D) 波谷处质元的动能为零、势能为最大。 答案：(A)
6.4 对于驻波，下列说法中哪些是错误的?
(A) 相向传播的相干波一定能形成驻波； (B) 两列振幅相同的相干波一定能形成驻波； (C) 驻波不存在能量的传播；
(D) 驻波是一种稳定的振动分布。 答案：(A)、(B)
6.5 人耳能辨别同时传来的不同声音，这是由于
(A) 波的反射和折射； (B) 波的干涉；
42
(C) 波的独立传播特性； (D) 波的强度不同。 答案：(C)
6.6 波源在xy坐标系中（3，0）位置处，其振动方程是y?1.0?10?2cos120?tm，其中t
以s计，波速为50m/s。设波源发生的波沿x轴负向传播，介质无吸收，则此波方程为
(A) y?0.01cos?120?t???x??m; 50?x??m; 50?x??m; 50?x?)?1.2??m。 50?(B) y?0.01cos120??t?????(C) y?0.01cos120??t?(D) y?0.01cos?120?(t?答案：(D)
??6.7 两波同时在一弦线上传播，其波动方程分别是y1?3?10(A) x?5(2k?1)m , k?1,?1,?2? (B) x?5(k?2)m , k?1,?1,?2? (C) x?0,5,10,?; (D) x?0,10,20? 参考答案：(A)
?2cos?(0.1x?10t)，
y2?3?10?2cos?(0.1x?10t)，其中x、y以m计，t以s计。弦线上波节位置为
6.8 一弦线上的振动以厘米?克?秒制表示为y?1.0coscos4t，组成此振动的两波波速是
(A) 4/3ms; (B) 12/?cms; (C) 0.18ms; (D) 12cms∝ 答案：(D)
6.9 一点波源发出的波在无吸收媒质中传播，波前为半球面。该波强度I与离波源距离r间的关系是
(A) I∝r答案：(D)
6.10 当波源以速度V向静止的观察者运动时，测得频率为v1，当观察者以速度V向静止的波源运动时，测得频率为v2，以下哪个结论是正确的？
(A) v1?v2; (B) v1?v2; (C) v1?v2; (D) 要视波速大小决定上述关系。 答案：(A)
43
?1/2?1?1?1?1x3; (B) I∝1/r; (C) I∝r?3/2; (D) I∝r?2。
6.11 声音1 的声强比声音2的声强大1分贝，则声音1的强度是声音2的强度的
(A) 1倍； (B)
参考答案：(D)
6.12 一平面简谐波沿x轴正向传播，波速为c?200ms，频率为v?10Hz，已知在x?5m处的质点P在t?0.05s时刻的振动状态是：位移为yp?0；速度为Vp?4?ms?1，求此平面波的波动方程。 解：令波动方程为 y?Acos??(t?其中
?12倍； (C) 10倍； (D) 100.1倍
??x?)??? c???2?v?20?，c?200ms?1
??xx???)??? ? V??20?Asin?20?(t?)??? 200200????1得到 y?Acos?20?(t?将初始条件： t?0.05s，x?5m，yP?0，VP?4?ms代入
5??0?Acos?20?(0.05?)??? ? sin??0 ? ??0或?
200??4???20?Asin?2 或 4???20?Asin3? 2由于 A?0 ? ??? ? A?0.2m 所以 y?0.2cos?20?(t?
6.13 一平面简谐波沿x轴正向传播，振幅为A?0.1m，频率为v?10Hz，已知在x?0.1m处的质点P在t?1.0s时刻的振动状态是：位移为yp?0，速度为Vp?0，而x?20cm处的质点Q在t?1.0s时刻的振动状态是：位移为yq?5.0cm；速度为Vq?0，求此平面波的波动方程。
解：令波动方程为 y?Acos??(t???x?)??? 200???x?)??? c?由题意：A?0.1m,v?10Hz,??2?v?20?
代入得到：y?0.1cos?20?(t?)??? ? V??2?sin?20?(t?将初始条件： t?1.0s，x?0.1m，yP?0，VP?0代入
??xc????x?)??? c? 44
0.10.1????0?0.1cos?20?(1?)??? 且 sin?20?(1?)????0
cc?????2???2??????0 s?????0 且 sin? co????c??c?? ?2????? (1) c2将初始条件： t?1.0s，x?0.2m，yq?0.05m，Vq?0代入
0.20.2????0.05?0.1cos?20?(1?)??? 且 sin?20?(1?)????0
cc?????4??1?4??s????? 且 sin????0 ? co????c?2?c?4?????? (2) c312?14?联立方程(1)、(2),解得 c? ms，??53? ?因此 y?0.1cos?20?(t?
??5x4??)? ?123?6.14 已知波源在原点的一列平面简谐波的波动方程为y?Acos?Bt?Cx?，其中A、B、
C为正值恒量。试求：
(1) 波的振幅、波速、频率、周期与波长；
(2) 写出传播方向上距离波源为?处一点的振动方程；
(3) 任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差。 解(1)：由y?Acos?B?t?振幅为A, V?????x???得到： B/C???B?B2?2?2?， v?， T?， ??VT? ??C2?2??BC(2) 将x??代入 y?Acos(Bt?cl) (3) ???
6.15 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y?0.05cos?10?t?4?x?，式中x，y以
米计，t以秒计。求：
(1) 波的振幅、波速、频率和波长；
?d??2???Cd
45
(2) 绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；
(3) 求x?0.2m处质点在t?1s时的位相，它是原点处质点在哪一时刻的位相？ 解(1)：由y?0.05cos?10?t?4?x?得到：
A?0.05，??10?，v?5Hz，T?0.2s，c?2.5ms?1，??cT?0.5m
?1(2) Vmax?A??0.05?10??1.57ms
22?2 amax?A??0.05?100??49.3ms
(3) ??10?t?4?x,将t?1s，x?0.2m代入，??9.2? 在原点处 x?0 ? 10?t?9.2? ? t?0.92s
6.16 一平面波在介质中以速度c?20ms沿x轴负方向传播，如题图6.16所示。已知P点
的振动表达式是yp?3cos4?t，式中y以米计，t以秒计。 (1) 以P点为坐标原点写出波动方程；
(2) 以距P点5m处的Q点为坐标原点写出波动方程。 c Q 5m P X
题图6.16
解(1)：y(x,t)?3cos4??t??1??x?? 20???5???3cos?4?t??? 20?(2) Q点振动方程为：yQ?3cos4??t?波动方程为 y(x,t)?3cos?4??t??????x? ????20???1
6.17 一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为0.08m?s，波长为0.2m，t?0时的波形
图形曲线如题图6.17所示。
(1) 写出波动方程；
(2) 绘出t?18T时的波形图。 Y(m)
0.04 x(m)
题图6.17
46
解：（1）由题意：A?0.04m，V?0.08ms，??0.2m，
?1? v?V??0.08?0.4Hz，??2?v?0.8? 0.2令波动方程为 y?0.04cos?0.8??t?????x????? 0.08???将t?0时，x?0，y?0代入： 0?0.04co?s ? cos??0 ? 由于 V?0 ? sin??0 ? ??因此 y?0.04cos?0.8??t?????2
?2
????x??? ??0.08?2??（2）t?18T时的波形图
0.040.020.05-0.020.10.150.20.250.3-0.04 6.18 如题图6.18所示，已知t1?0时和t2?0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b)，
设波沿x轴正向传播，试根据图中绘出的条件求： (1) 波动方程； (2) P点的振动方程。 Y(cm) 4 (a) (b) P ?4 1 2 3 4 5 6 X(m) 题图6.18 解(1) 由图可知：A?4cm,??4m 设y?x,t??Acos???t?????x?????? c?? 47
c?2?2?2?1???? ?2m，??s4?T0.5????2?c?由y?0,0??0????2
??x????y?x,t??0.04cos???t????
??2?2?（2）将x?3代入，得
y?t??0.04cos??t?
6.19 一平面余弦波，沿直径为0.14m的圆柱形管传播，波的强度为9.0?10J?m频率为300Hz，波速为300m?s，求： (1) 波的平均能量密度和最大能量密度； (2) 两个相邻的同相面之间的波段中波的能量。
?1?3?2?s?1，
I9?10?3?3?10?5Jm?3 解(1)：由 I?wc ? w??c300wmax?2w?6?10?5Jm?3
(2)
??c300??1m v3002?5?0.14??7?W?w?sl?3?10??????1?4.6?10J
?2?
6.20 如题图6.20，A和B是两个同位相的波源，相距d?0.10m，同时以30Hz的频率发
出波动，波速为0.50m?s 。P点位于与AB成30角、与A相距4m处，求两波通过P点的位相差。
P
A 30 B 题图6.20 解：由三角形关系知: r2?而且
0?10r12?d2?2r1dcos?6?3.9137m
??c0.51??m v306048
由????2??1?2?得到 ???2??
r1?r2?，其中 ?2??1?0
4?3.9137?10.36?
1/606.21 如题图6.21所示，S1与S2为两相干波源，相距14?，且S1较S2位相超前0.5?，如
果两波在S1S2连线方向上的强度相同[均为I0]且不随距离变化，求： (1) S1S2连线上S1外侧各点处合成波的强度； (2) S1S2连线上S2外侧各点处合成波的强度。
S1 S2
题图6.21
解：由题意 S1S2??4，
?1??2??2
(1) P1在S1外侧时：
????2??1?2?r2?r1????2?2???/4??? ?即在S1外侧两振动反相 ? A?A1?A2?0 ? 合成波强度I?0 (2) P2在S2外侧时：
????2??1?2?r2?r1????2?2????/4??0
即在S2外侧两振动同相 ? A?A1?A2?2A1 ? I?4I0 所以，S2外侧各点波的强度是单一波源波的强度的4倍。
6.22 如题图6.22所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，它在B点的振动方程为
y1?2?10?3cos2?t；C点发出的平面横波沿CP方向传播，它在C点的振动方程
为y2?2?10cos(2?t??)，本题中y以米计，t以秒计。设BP?0.4m、
CP?0.5m，波速c?0.2m?s?1，
?3(1) 求两波传到P点时的位相差；
（2）若在P点处相遇的两波的振动方向相同，求P处合振动的振幅； （3）若在P点处相遇的两波的振动方向相互垂直，再求P处合振动的振幅。
49
B
P
C
题图6.22
解(1)：由
??V2?V??0.2m v?rC?rB得到 ????C??B?2?????2??0.1?0 0.2即在P处两波同相位。
(2) 由于两波同相位，且振动方向相同
? A?A1?A2?4?10?3m
(3) 当???0，且两振动方向垂直时
2A?A12?A2?2A1?2.83?10?3m
6.23 如题图6.23所示，三个同频率、振动方向相同[垂直纸面]的平面简谐波，在传播过程
1 y1?Acos??t?12??，y2?Acos??t?，y1?Acos??t?2??，
中于P点相遇。若三个简谐波各自单独在S1、S2和S3的振动方程分别是
且S2P?4?，S1P?S3P?5?[?为波长]，求P点的振动方程[设传播过程中各波
的振幅不变]。
P S1 S2 S3
题图6.23
解：S1在P点的振动为：
??5??????????y1?Acos???t?????Acos??t?5?2????Acos??t????Asin?t
c?2?2?2?????S2在P点的振动为：
50