第十章-曲线积分与曲面积分练习题
（一）. 第一类曲线积分的性质（包括对
称性的应用）
x2y2??1 的周长为a，则1.设椭圆L：34222(1?4x?3y?3xy)ds? ． ?L
6.计算
?Lyds, 其中L是抛物线y?x2上点
O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧.
解
（四）. 利用格林公式计算第二类曲线积分（需作辅助线）注意分4步
9.利用格林公式计算曲线积分
2xx?(y?1)edx?2(ye?x)dy，其中L为
Lx2y2??1 的周长为a，则曲2．设椭圆L：43线积分?(3x2?4y2?5xy)ds?
L（二）. 已知平面曲线构件的质量线密度
???(x,y)，求构件的质量（提示：M???(x,y)ds）
L3.设曲线L：x?y?1上任意一点处的质量
22密度?(x,y)?(x?y)2，则该曲线构件的质量
x2?(y?1)2?1的上半部分，从A(1,1)到
B(?1,1).
解：
M? ．
4.设曲线L为圆周x?y?1, 曲线的线密度
22
（五）. 概念：在单连通区域G内? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一阶连续偏导数?且有
?Q?P?? ?x?y为??x?y, 则该曲线的质量
M??(x2?y2)ds?（ ）.
L22A．2?; B. 4?; C. 8?; D. 16?.
（三）. 第一类曲线积分的计算（直角坐
标情形）
5.计算曲线积分?y(1?x)ds，其中L为
LO(0,0),A(1,0),B(0,1)三点所成的
?在G内的曲线积分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy与路径无关 ?在G
内的闭曲线积分
三角形的整个边界. 解：
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1
?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
?在G内P(x? y)dx?Q(x? y)dy是某一函数
u(x? y)的全微分
或P(x? y)dx?Q(x? y)dy=0为全微分方程
10.若对于xoy平面上的任意简单封闭曲线
程的通解．
解：
L，总有?(6xy?ay2)dx?(bx2?4xy)dy?0成
L立，则（ ）．
A . a?2,b?3B. a?2,b??3；
C. a??2,b?3D. a??2,b??3．
22 ；
；
（六）. 计算第一类曲面积分（积分曲面为锥面，旋转抛物面，上半球面；提示：向xoy面投影）
11.若曲线积分?(axy?2y)dx?(bxy?x)dyL在xoy平面上与路径无关，则（ ）．
22(x?y)zdS，其中 ?为A . ； 15. 计算曲面积分 a?2,b?4???B. a??2,b?4；
上半球面z?1?x2?y2． C. ； a?2,b??4解： D. a??2,b??4．
12.若(ay2?2xy)dx?(bx2?2xy)dy?0为全微分方程，则（ ）．
A . a?1,b??1B. a??1,b?1；
a?1,b?1C.
D. a??1,b??1． 13.验证曲线积分
；
；
?16.计算曲面积分??1?4zdS，其中 ?为旋转曲面z?x2?y2（0?z?1）． 解：
17.计算曲面积分??(z?x2?y2)dS，其中 ???L(ey?x)dx?(xey?2y)dy在全平面上与路
(1,2)(0,0)径无关, 并计算
I??(e?x)dx?(xe?2y)dy.
解：
yy14.设 (4xy?ay2)dx?(bx2?2xy)dy?0为全微分方程，1）求a,b的值；2）求该全微分方
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2
为圆锥面z?x2?y2
( 0?z?1)． 解：
18.计算曲面积分??(y?z)dS，其中 ?为平面
?． 20.计算曲面积分
?zzx(e?siny)dydz?y(e?sinx)dzdx?z(sin??，
其中?为圆柱面x2?y2?1与平面
z?0，z?1所围圆柱体的全表面外侧．
解：
22.计算曲面积分
I???xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?是曲
?x?y?z?1在第一卦限的部分．
解：
面 z?x2?y2 (0?z?1)的下侧．
（七）. 利用高斯公式计算第二类曲面积解
分（封闭曲面）
19.计算曲面积分
(x3?xz)dydz?(y3?yz)dzdx?3z(x2 ?y2)dxdy???
，
其中?为圆锥面z?x2?y2与平面
z?1所围圆锥体的全表面外侧．
（八）. 其他
（1）设曲线L为圆周x2?y2?4，则
解：
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?L(x2?y2)ds=
（2）设曲线L为圆周x?y?4，取逆时针方向，则曲线积分
22C．?ds?2?R,其中L:x2?y2?R2；
L?Lxdy?ydx? ．
33D.?Ldx?dyx2?y2?11dx?dy??0dxdy?0,???RLRD（3）设曲面片?为圆柱面x2?y2?1上
其中
L:x2?y2?R2,D:x2?y2?R2．
（7）设函数f(x)可导，f(0)?0, 且
[1?f2(x)]ydx?f(x)dy?0为全微分方程，求f(x)，并求曲线积分
0?z?3部分，它的面密度为??x?y?2，则该曲面片的质量M? ． （4）设?:x2?y2?z2?4，取外侧，则
?(?/4,1)(1,1)[1?f2(x)]ydx?f(x)dy．
??ydydz?xdzdx?2zdxdy? .
?2解：
（5）以下计算中，正确的是（ ）．
A．二重积分
22(x?y)dxdy???x2?y2?R
222Rdxdy?R??R?? 2x?y2?R； B．三重积分
x2?y2?z2?R2
2?4?R32Rdv?R???3x2?y2?z2?R2
???(x2?y2?z2)dv?；
x2?y2?R2?C．曲线积分(x2?y2)ds?x2?y2?R2?Rds?R?2?R；
22
x?y?z?R(外侧)22D．曲面积分
(x2?y2?z2)dxdy???22x?y?z2?R222??
R2dxdy?R2??R2
.
（6）以下计算中错误的是 ( )．
A.第十章-曲线积分与曲面积分练习题
答案
413a； 2．12a ； 3. M?2? ；4.1.
dv?R2??R2,其中?:x2?y2?z2?R23 A ）. （
5.计算曲线积分?y(1?x)ds，其中L为
L????(x2?y2?z2)dv?R2????；
B．
(x?y2?z2)dS?R2???2???O(0,0),A(1,0),B(0,1)三点所成的
dS?4?R4,其中?:x2?y2?z2?R2三角形的整个边界.
；
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4
解： OA:y?0(0?x?1) ，
?OAy(1?x)ds?0，
?，
L1(y2?1)exdx?2(yex?x)dy?0，
AB:y?1?x(0?x?1)ds?2dx，
1
所以
?L(x?cosy)dx?x(1?siny)dy??．
注：本例中，我们通过添加一段简单的辅2助曲线，使它与所给曲线构成一封闭曲线，然2y(1?x)ds?(1?x)2dx??AB?03后利用格林公式把所求曲线积分化为二重积
， 分来计算. 在利用格林公式计算曲线积分时，
这是常用的一种方法. OB:x?0(0?y?1) ，ds?dy，
1， 10. （ A ） ； 11. （ B ） ； 12.y(1?x)ds?ydy??OB?02（ A ）．
12所以 ?y(1?x)ds??．
L13.验证曲线积分23
16.计算
?Lyds, 其中L是抛物线y?x2上点
?L(ey?x)dx?(xey?2y)dy在全平面上与路
(1,2)(0,0)径无关, 并计算
O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧.
I??(ey?x)dx?(xey?2y)dy.
解 L的方程y?x(0?x?1),
ds?1?(x2)?2dx?1?4x2dx.
2因此
解：设 P?ey?x,Q?xey?2y, 因为
?P?Q??ey在整个平面上都成立, 所以曲?y?x线积分在全平面上与路径无关.
取折线路径(0,0)?(1,0)?(1,2)积分
?Lyds???101x?1?4xdx 1?4x2dx
122?x0I??(1,2)(0,0)1(ey?x)dx?(xey?2y)dy
201?1???(1?4x2)3/2??(55?1). ?12?012=?(1?x)dx??(ey?2y)dy
0=
9.利用格林公式计算曲线积分
2xx(y?1)edx?2(ye?x)dy，其中L为 ?L1y22(x?x2)10?(e?y)0
27=??e2 2x2?(y?1)2?1的上半部分，从A(1,1)到B(?1,1).
14.设 (4xy?ay2)dx?(bx2?2xy)dy?0为全微分方程，1）求a,b的值；2）求该全微分方
解： L1:y?1，x从?1到1； 程的通解．
2xx(y?1)edx?2(ye?x)dy???2d???1）P?4xy?ay2,Q?bx2?2xy ， ?L?L1解：
D，
又
由
?P?Q??y?x ，即
4x?2ay?2bx?2y，可得 a?1,b?2；
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2）
(x,y)(0,0)dS?1?4x2?4y2dxdy，
u(x,y)??(4xy?y2)dx?(2x2?2xy)dy ??(4xy?y2)dx（或
0xDxy:x2?y2?1 ，
?y0(2x2?2xy)dy）
?2xy?xy22?? ，
?1?4zdS
2222所求微分方程的通解为 ? ?? 1?4x?4y?1?4x?4ydxdy
Dxy2x2y?xy2?C．
15.计算曲面积分??(x2?y2)zdS，其中 ?为
?
?22(1?4x?4y)dxdy??上半球面z?1?x?y．
解
：
22Dxyzx??x1?x?y11?x?y2222，
dxdy，
22
zy??y1?x?y22， dS???2?0d??1?4r2rdr01??Dxy:x?y?1 ，
22??(x?y)zdS?
?3?． 17.计算曲面积分??(z?x2?y2)dS，其中 ??为圆锥面z?x2?y2
22?Dxy??(x2?y)1?x?y?211?x2?y2 ( 0?z?1)．
dxdy
解： zx?xx?y22，
?
Dxy22(x?y)dxdy ??zy?yx?y22， dS?2dxdy，
???2?0d??r3dr01Dxy:x2?y2?1?16.计算曲面积分???21?4zdS，其中 ?为旋
， ．
转曲面z?x2?y2（0?z?1）．
解：
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??(z?x?2?y2)dS
zx?2x，
zy?2y，
6
?Dxy2222(x?y?x?y)2dxdy ??
222，
2?2??(x?y?x?y)dxdyDxy??(x?3?xz)dydz?(y3?yz)dzdx?3z(x2?y2)dx
????2zdv
??2?2?0d??r?r2rdr?01??72?． 6??102zdz??dxdy??2?z3dz?Dz01?2．
18.计算曲面积分??(y?z)dS，其中 ?为平面
?或
??2?0x?y?z?1在第一卦限的部分．
d??rdr?2zdz?2??0r111??． 42解： zx??1, zy??1, 20. 计算曲面积分
?zzx(e?siny)dydz?y(e?sinx)dzdx?z(sinDxy:x?y?1,x?0,y?0 ??
，
??(y?z)dS??Dxy其中?为圆柱面x2?y2?1与平面 (1?x)3dxdy???3?
10(1?x)dx?1?x0z?0，z?1所围圆柱体的全表面外侧．
dy解：P?x(ez?siny)，Q?y(ez?sinx)，
19.计算曲面积分
?R?z(sinx?siny)，
3? 3?P?Q?R???2ez?x?y?z3322(x?xz)dydz?(y?yz)dzdx?3z(x?y， ) dxdy ??，
其中?为圆锥面z?x2?y2与平面
z?1所围圆锥体的全表面外侧．
zzx(e?siny)dydz?y(e?sinx)dzdx?z(sinx???
?????2ezdv
3解： P?x?xz，Q?y?yz，
R??3z(x2?y2)，
3
??2ezdz??dxdy??2?ezdz?2?(e?1)．
0Dz011?P?Q?R???2z?x?y?z第 7 页 共 8 页
7
或
??2?0111d??rdr?2ezdz?2???2(e?1)?2?(e?1)002
．
22.计算曲面积分
I???xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?是曲
?得 积
分
得
f?(x)?1?f2(x),
arctanf(x)?x?C,
面z?x2?y2 (0?z?1)的下侧．
解 令?1:z?1, 取上侧，
I?
由f(0)?0, 得 C = 0, 因此 f(x)?tanx;
?????1xdydz?ydzdx?zdxdy????1xdydz?ydzdx?zdxdy
?????3dxdydz? x2???dxdyy2?1
?3?2?0d??10rdr?1
r2dz?? ?6??120r(1?r)dr??
?11?1?6???2r2?4r4???? 0
?12?.
其他
（1）16?；（2） 24? ；
（3）12? ；（4）643?.
（5）（ C ）；.（6） ( A )．
（7）设函数f(x)可导，f(0)?0, 且
[1?f2(x)]ydx?f(x)dy?0为全微分方程，求f(x)，并求曲线积分
?(?/4,1)(1,1)[1?f2(x)]ydx?f(x)dy．
解： 由
?([1?f2(x)]y)?y??f(x)?x, 第 8 页 共 8 页
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?(?/4,1) ( 1, 1) [ 1 ? f2 ( x )]
ydx?f(x)dy
??(?/4,1)(1,1)(1?tan2x)ydx?tanxdy
???/421(1?tanx)dx
? tan x |? / 4 ? 1 ?
1tan1.