AB2＝1＋4－212cos120＝7 由正弦定理：
评注：本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角。
例4. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点。求截面MB1D与底面ABCD所成二面角的大小。
分析：如图。面MB1D与面ABCD只相交于点D，因此，要求二面角的大小，需先找或作出它的棱。由公理2及二面角棱的定义知，这条棱必过点D。只要再找出两个面的另一个交点即可。
解：∵M是A1A的中点，MAB1B是直角梯形。 延长其腰B1M与BA必相交于一点N。 ∵MB1 面B1DM，NMB1。 N面B1DM。 同理：N面ABCD。 连结ND即为二面角的棱。
连结DB，∵NA＝BA＝AD，ADB＝ADN＝45。 BDN＝90。 BDND。
∵B1B平面ABCD。 NDB1D（三垂线定理）。 B1DB是所求二面角的平面角。
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在Rt△B1DB中， 【疑难解析】
两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形。
1. 定义用于证明两个平面垂直，即它们组成的二面角是直二面角，首先作出它的一个平面角，然后证出这个平面角是直角。
2. 判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据。
3. 从两个平面垂直的判定定理和性质定理中，可看出平面与平面的垂直问题仍可转化为直线与平面的垂直问题．即从线面垂直可得出面面垂直。反之，由面面垂直又可得出线面垂直．所以两个平面垂直的性质定理1也可看作是直线与平面垂直的判定定理。
当面面垂直时，作辅助线一般作交线的垂线，当线面垂直时可利用三垂线定理求二面角、求线面角。 二面角的求法：
求解过程：1. 作出二面角 2. 认定（证明） 3. 计算 4. 结论
作二面角最重要的方法是应用三垂线定理或用定义。无论用三垂线定理还是用定义作二面角都是利用二面角所在的平面垂直棱这一性质，先找棱的一条垂线（或者作一垂线）进一步作出二面角。
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【模拟试题】
1. 已知三棱锥SABC，ASB＝ASC＝45，BSC＝60，求证：侧面BSA侧面CSA。
2. 如图，PC平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。
3. 在60二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。
4. 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，EBB1，截面A1EC侧面AC1。（Ⅰ）求证：BE＝EB1；（Ⅱ）若AA1＝A1B1；求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）。
（Ⅰ）证明：在截面A1EC内，过E作EGA1C，G是垂足， ①∵_______________________EG侧面AC1；取AC的中点F，连结BF，FG，由AB＝BC得BFAC，
②∵____________________BF侧面AC1；得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG。
③∵___________________________BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE＝FG，
④∵_________________________________FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，
⑤∵_________________________
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5. 拿一张边长为10cm的正三角形纸片ABC，以它的高AD为折痕，折成一个二面角，如图所示。 （1）指出这个二面角的面、棱、平面角；
（2）若二面角B－AD－C为直二面角，求B、C两点的距离； （3）求AB与面BCD所成的角；
（4）若二面角B－AD－C的平面角为120，求二面角A－BC－D的余弦值；
（5）设二面角A－BC－D的大小为，试推导△ABC与△DBC面积关系式。
6. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F、G分别是AB、C1D1、B1C1的中点，求：（1）直线AB与平面A1ECF所成的角；（2）求平面AFG和平面AB1D1所成的角；（3）求二面角B1－A1C－C1。 【试题答案】
1. 分析：利用所成二面角是直二面角。
证明：过B作BDSA于D，过D在平面SAC内作EDSA交SC于E，连BE，BDE为二面角BASC的平面角 ∵ASC＝ASB＝45 ED＝SD＝BD 设SD＝a，则SB＝SE＝ a 在BSE中BSE＝60BE＝ a 在BDE中 BDE＝90
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