∵点P为∠MON的平分线上一点， ∴?AOP??BOP??.

∴?AOP∽?POB.∴?OAP??OPB.

∴?APB??OPB??OPA??OAP??OPA?180???. 如答图1，过点A作AH⊥OB于点H， ∴S?AOB?1212111?OB?AH??OB?OA?sin??OP2?sin?. 222∵OP?2，∴S?AOB?2sin?.

（3）设点C?a, b?，则ab?3.如答图，过C点作CH⊥OA于点H.

i）当点B在y轴的正半轴时，

如答图2，当点A在x轴的负半轴时，BC?2CA不可能. 如答图3，当点A在x轴的正半轴时， ∵BC?2CA，∴

CA1?. AB3CHAHCA13???.∴OB?3b, OA?a. OBOAAB32∵CH∥OB，∴?ACH∽?ABO.∴∴OA?OB?927ab?. 22273?6. 22∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴OP?OA?OB??3333?∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为??2, 2??.

??

ii）当点B在y轴的负半轴时，如答图4 ∵BC?2CA，∴AB?CA.

∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH，∴?ACH∽?ABO.

∴OB?CH?b, OA?AH?113a.∴OA?OB?ab?. 22231?6. 22∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴OP?OA?OB??33?∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为?, -??2?. 2???3333??33?综上所述，点P的坐标为?或. , , -????2???2??22??【考点】新定义和阅读理解型问题；单动点和旋转问题；相似三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想的应用.

【分析】（1）通过证明?AOP∽?POB，即可得到OP2?OA?OB，从而证得∠APB是∠MON的智慧角.

（2）根据S?AOB?111?OB?AH??OB?OA?sin??OP2?sin?得出结果. 222（3）分点B在y轴的正半轴，点B在y轴的负半轴两种情况讨论.

7. （2020年浙江宁波14分）如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，

y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点. 以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直

线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM于点K.

（1）若点M的坐标为（3，4），①求A，B两点的坐标； ②求ME的长；

OK?3，求∠OBA的度数； MKOK（3）设tan?OBA?x（0

MK（2）若

【答案】解：（1）①如答图，连接DM, MC，

∵OM是⊙P的直径，∴?MDO??MCO?90?. ∵?AOB?90?，∴MD∥OA，MC∥OB. ∵点M是AB的中点，

∴点D是AB的中点，点C是OA的中点. ∵点M的坐标为（3，4）， ∴OB?2MC?8, OA?2MD?6.

∴点B的坐标为（0，8），点A的坐标为（6，0）. ②在Rt?AOB中，∵OA?6, OB?8， ∴由勾股定理，得AB?10. ∵点M是AB的中点，∴BM?1AB?5. 2BMBO. ?BDBE∵?BOM??BED，?OBM??EBD，∴?OBM∽?EBD.∴∴BE?BO?BD4?8??6.4.∴ME?BE?BM?6.4?5?1.4. BM5（2）如答图，连接DP，

∵

OK?3，∴OK?3MK, OM?4MK.∴PK?MK. MK∵OP?PM, BD?DO，∴DP是?BOM的中位线. ∴DP∥BM.∴?PDK??MEK 又∵?PKD??MKE.∴?DPK≌?EMK?AAS?.∴DK?KE. ∵OM是⊙P的直径，∴OM?DE. ∴cos?DPK?∵DP?PM?2ME，∴cos?DPK?PK. PD1.∴?DPK?60?, ?DOM?30?. 2∵在Rt?AOB中，点M是AB的中点，∴BM?MO. ∴?OBA??DOM?30?. （3）y关于x的函数解析式为y?2. 1?x2【考点】圆的综合题；圆周角定理；平行的性质；点的坐标；勾股定理；相似三角形的判定和性质；三角形中位线定理；全等三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；等腰三角形的性质；由实际问题列函数关系式；方程思想的应用.

【分析】（1）①连接DM, MC，由三角形中位线定理求得A，B两点的坐标.

②要求ME的长，由ME?BE?BM知只要求出BE和BM的长即可，BM的长可由AB长的一

半求得，而AB长可由勾股定理求得；BE的长可由?OBM∽?EBD的对应边成比例列式求得.

（2）连接DP，求得?DPK≌?EMK?AAS?得到DK?KE，由DP?PM?2ME得到cos?DPK?1，2即?DPK?60?,因此求得?OBA??DOM?30?.

（3）如答图，连接PC，

∵OM是⊙P的直径，∴?NEO?90?. ∵tan?OBA?x（0

1?x2∵在Rt?OME中，?1?m??x?m，∴m?.

21?x2111?m2∴ME?1?m?. , DP?BM?m?22242221?x2PKDP1?x24???∵?DPK∽?MKE，∴. KMME1?x22?1?x2?222MPPK?MK1?x?2?1?x?3?x2???∴. 22MKMK2?1?x?2?1?x?OM2MP3?x2∵点P是MO的中点，∴. ??MKMK1?x222OKOK?MK?3?x???1?x?2???∴y?. 22MKMK1?x1?x∴y关于x的函数解析式为y?2. 1?x28. （2020年浙江绍兴14分）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点. （1）若四边形OABC为矩形，如图1， ①求点B的坐标；

②若BQ：BP=1：2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标；

（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F. 若B1E：B1F=1：3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围.