小学数学解题方法解题技巧之

容斥原理问题

例1 在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有______个。 （莫斯科市第四届小学数学竞赛试题）

讲析：能被5整除的数共有1000÷5=200（个）； 能被7整除的数共有1000÷7=142（个）??6（个）；

同时能被5和7整除的数共有1000÷35=28（个）??20（个）。 所以，能被5或7整除的数一共有（即重复了的共有）： 200＋142—28=314（个）； 不能被5或7整除的数一共有 1000—314=686（个）。

例2 某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀。这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：

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求这个班的学生人数。

（全国第三届“华杯赛”复赛试题）

讲析：如图5.90，图中三个圆圈分别表示短跑、游泳和篮球达到优秀级的学生人数。

只有篮球一项达到优秀的有 15—6—5+2=6（人）； 只有游泳一项达到优秀的有 18—6—6+2=8（人）； 只有短跑一项达到优秀的有 17—6—5＋2=8（人）。 获得两项或者三项优秀的有 6＋6+5—2×2=13（人）。 另有4人一项都没获优秀。

所以，这个班学生人数是13＋6＋8＋8＋4=39（人）。

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【奇数和偶数】

奇数偶数与奇偶性分析

例1 用l、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积。问乘积中是偶数多还是奇数多？

（全国第二届“华杯赛”决赛口试试题）

讲析：如果两个整数的积是奇数，那么这两个整数都必须是奇数。在这五个数中，只有三个奇数，两两相乘可以得到3个不同的奇数积。而偶数积共有7个。所以，乘积中是偶数的多。 例2 有两组数，甲组：1、3、5、7、9??、23；乙组：2、4、6、8、10、??24，从甲组任意选一个数与乙组任意选出一个数相加，能得到______个不同的和。 （《现代小学数学》邀请赛试题）

讲析：甲组有12个奇数，乙组有12个偶数。甲组中任意一个数与乙组中任意一个数相加的和，必为奇数，其中最大是47，最小是3。

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从3到47不同的奇数共有23个。 所以，能得到23个不同的和。

本题中，我们不能认为12个奇数与12个偶数任意搭配相加，会得到12×12=144（个）不同的和。因为其中有很多是相同的。 【奇偶性分析】

例1 某班同学参加学校的数学竞赛。试题共50道。评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分。请你说明：该班同学得分总和一定是偶数。 （全国第三届《从小爱数学》邀请赛试题）

讲析：如果50道题都答对，共可得150分，是一个偶数。每答错一道题，就要相差4分，不管答错多少道题，4的倍数总是偶数。150减偶数，差仍然是一个偶数。

同理，每不答一道题，就相差2分，不管有多少道题不答，2的倍数总是偶数，偶数加偶数之和为偶数。

所以，全班每个同学的分数都是偶数。则全班同学的得分之和也一定是个偶数。 例2 5只杯子杯口全都朝上。规定每次翻转4只杯子，经过若干次后，能否使杯口全部朝下？

（美国小学数学奥林匹克通讯赛试题）

讲析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必须翻转奇数次。要想5只杯口全都朝上的杯子，杯口全都朝下，则翻动的总次数也一定是奇数次才能办得到。 现在每次只翻转4只杯子，无论翻多少回，总次数一定是偶数。 所以，不能使杯口全部朝下。

例3 某班共有25个同学。坐成5行5列的方阵。我们想让每个同学都坐到与他相邻的座位上去。（指前、后、左、右），能否做得到？ （广州市小学数学竞赛预赛试题）

讲析：如图5.44，为了方便，我们将每一格用A或B表示，也就是与A相邻的用B表示，与B相邻的用A表示。

要想使每位同学都坐到相邻座位上去，也就是说坐A座位的同学都要坐到B座位上去，而坐B座位上的同学都要坐到A座位上去。

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