??-6(??≥3),
去绝对值号,可得g(x)=2|x-3|-|x|={6-3??(0
6-??(??≤0),
画图可知g(x)的最小值为-3,所以实数m的取值范围为m≤-3; (2)由(1)可知a+b+c=9,所以a+1+b+2+c+3=15,
2
2
2
2
2
2
1
??2+1
+
1
??2+2
+
1
??2+3
=
(
1
??2+1??2+2??2+3
+
1
+
1
)·(??2+1+??2+2+??2+3)15
=
3+
??2+2??2+1??2+3??2+1??2+3??2+2
+++++??2+1??2+2??2+1??2+3??2+2??2+3
15
≥
2
915
=, 5
2
2
3
当且仅当a+1=b+2=c+3=5,即a=4,b=3,c=2时等号成立,
222
所以??2+1+??2+2+??2+3的最小值为5.
4.(2019河南十所名校高三毕业班阶段性测试)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为
1113
{
??=??+??=
√2??2
2
√2??,2
(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标
方程为ρ=5-3cos2??,直线l与曲线C交于A,B两点. (1)求曲线C的直角坐标方程;
8
(2)若线段AB的长度为
4√25
,求实数a的值.
解(1)由ρ=5-3cos2??,得ρ(5-6cosθ+3)=8,化简得4ρ-3ρcosθ=4.
因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以方程可化为4(x+y)-3x=4,
2
2
2
2
8
22222
整理得x+4y=4,即
22
??24
+y2=1.
65
(2)由直线l的参数方程{
??=??+??=
√2??2
√2??,2
可得其普通方程为x-y-a=0.
22
??+4??=4,可得5x2-8ax+4a2-4=0. 联立{
??-??-??=0
因为直线l与曲线C有两个交点,
所以Δ=64a-4×5×(4a-4)=80-16a>0,得-√5 4??2-45 2 2 2 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8??5 ,x1x2=. |AB|=√2|x1-x2|=√2√(??1+??2)-4??1??2 2 =4√25 √5-??2. 由 4√25 √5-??2= 4√25 ,解得a=±2. 5.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线M的参数方程为{ ??=1+cos??, (φ为参数),过原点O且倾 ??=1+sin??斜角为α的直线l交M于A、B两点.以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求l和M的极坐标方程; (2)当α∈0,4时,求|OA|+|OB|的取值范围. 解(1)由题意可得,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R). 曲线M的普通方程为(x-1)+(y-1)=1, 因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,x+y=ρ, 所以M的极坐标方程为ρ-2(cosθ+sinθ)ρ+1=0. (2)设A(ρ1,α),B(ρ2,α),且ρ1、ρ2均为正数, 66 2 2 2 2 2 2 π 将θ=α代入ρ-2(cosθ+sinθ)ρ+1=0, 得ρ-2(cosα+sinα)ρ+1=0, 2 2 当α∈0,4时,Δ=4sin2α>0, 所以ρ1+ρ2=2(cosα+sinα),根据极坐标的几何意义,|OA|,|OB|分别是点A,B的极径. π 从而|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2(cosα+sinα)=2√2sinα+π4 . 当α∈0,π4时,α+π4∈ π, π4 2 , 故|OA|+|OB|的取值范围是(2,2√2]. 6.(2019陕西西安八校高三4月联考)已知曲线C1:{??=-4+cos??, ??=3+sin??(t为参 数),C2:{??=√3cos??,??=sin??(θ为参数). (1)将C1,C2的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若Cπ ??1上的点P对应的参数为t=2 ,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:{ ??数)距离的最小值. 解(1)C21:(x+4)+(y-3)2 =1,C??22: 3 +y2=1. C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆, C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是√3,短半轴长是1的椭圆.(2)当t=π2时,P(-4,4),Q(√3cosθ,sinθ),故M-2+√31 2cosθ,2+2sinθ, C3为直线x-y-5=0,M到C3的距离 =3+??, =-2+??(t为参 67 d=|cos??-sin??-9| √2√3212= √22 sinθ-3+9, π 从而当sinθ-π3 =-1时,d取得最小值4√2. B组 能力提升 7.(2019全国Ⅲ,文23)设x,y,z∈R,且x+y+z=1. (1)求(x-1)2 +(y+1)2 +(z+1)2 的最小值; (2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 ≥1 3 成立,证明:a≤-3或a≥-1. (1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2 =(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)] ≤3[(x-1)2 +(y+1)2 +(z+1)2 ], 故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2 ≥4 3, 当且仅当x=511 3,y=-3,z=-3时等号成立. 所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2 的最小值为4 3. (2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2 =(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)] ≤3[(x-2)2 +(y-1)2 +(z-a)2 ], 22 故由已知得(x-2)+(y-1)2+(z-a)2 ≥ (2+??) 3 , 当且仅当x=4-??1-??3 ,y=3 ,z=2??-23 时等号成立. 68