通用版2020版高考数学大二轮复习 大题专项练习 分类汇编全集 文 下载本文

??-6(??≥3),

去绝对值号,可得g(x)=2|x-3|-|x|={6-3??(0

6-??(??≤0),

画图可知g(x)的最小值为-3,所以实数m的取值范围为m≤-3; (2)由(1)可知a+b+c=9,所以a+1+b+2+c+3=15,

2

2

2

2

2

2

1

??2+1

+

1

??2+2

+

1

??2+3

=

(

1

??2+1??2+2??2+3

+

1

+

1

)·(??2+1+??2+2+??2+3)15

=

3+

??2+2??2+1??2+3??2+1??2+3??2+2

+++++??2+1??2+2??2+1??2+3??2+2??2+3

15

2

915

=, 5

2

2

3

当且仅当a+1=b+2=c+3=5,即a=4,b=3,c=2时等号成立,

222

所以??2+1+??2+2+??2+3的最小值为5.

4.(2019河南十所名校高三毕业班阶段性测试)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为

1113

{

??=??+??=

√2??2

2

√2??,2

(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标

方程为ρ=5-3cos2??,直线l与曲线C交于A,B两点. (1)求曲线C的直角坐标方程;

8

(2)若线段AB的长度为

4√25

,求实数a的值.

解(1)由ρ=5-3cos2??,得ρ(5-6cosθ+3)=8,化简得4ρ-3ρcosθ=4.

因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以方程可化为4(x+y)-3x=4,

2

2

2

2

8

22222

整理得x+4y=4,即

22

??24

+y2=1.

65

(2)由直线l的参数方程{

??=??+??=

√2??2

√2??,2

可得其普通方程为x-y-a=0.

22

??+4??=4,可得5x2-8ax+4a2-4=0. 联立{

??-??-??=0

因为直线l与曲线C有两个交点,

所以Δ=64a-4×5×(4a-4)=80-16a>0,得-√5

4??2-45

2

2

2

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8??5

,x1x2=.

|AB|=√2|x1-x2|=√2√(??1+??2)-4??1??2

2

=4√25

√5-??2.

4√25

√5-??2=

4√25

,解得a=±2.

5.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线M的参数方程为{

??=1+cos??,

(φ为参数),过原点O且倾

??=1+sin??斜角为α的直线l交M于A、B两点.以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求l和M的极坐标方程;

(2)当α∈0,4时,求|OA|+|OB|的取值范围.

解(1)由题意可得,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).

曲线M的普通方程为(x-1)+(y-1)=1, 因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,x+y=ρ,

所以M的极坐标方程为ρ-2(cosθ+sinθ)ρ+1=0. (2)设A(ρ1,α),B(ρ2,α),且ρ1、ρ2均为正数,

66

2

2

2

2

2

2

π

将θ=α代入ρ-2(cosθ+sinθ)ρ+1=0, 得ρ-2(cosα+sinα)ρ+1=0,

2

2

当α∈0,4时,Δ=4sin2α>0,

所以ρ1+ρ2=2(cosα+sinα),根据极坐标的几何意义,|OA|,|OB|分别是点A,B的极径.

π

从而|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2(cosα+sinα)=2√2sinα+π4

.

当α∈0,π4时,α+π4∈

π,

π4

2

,

故|OA|+|OB|的取值范围是(2,2√2].

6.(2019陕西西安八校高三4月联考)已知曲线C1:{??=-4+cos??,

??=3+sin??(t为参

数),C2:{??=√3cos??,??=sin??(θ为参数).

(1)将C1,C2的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

(2)若Cπ

??1上的点P对应的参数为t=2

,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:{

??数)距离的最小值.

解(1)C21:(x+4)+(y-3)2

=1,C??22:

3

+y2=1.

C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆,

C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是√3,短半轴长是1的椭圆.(2)当t=π2时,P(-4,4),Q(√3cosθ,sinθ),故M-2+√31

2cosθ,2+2sinθ,

C3为直线x-y-5=0,M到C3的距离

=3+??,

=-2+??(t为参

67

d=|cos??-sin??-9|

√2√3212=

√22

sinθ-3+9,

π

从而当sinθ-π3

=-1时,d取得最小值4√2.

B组 能力提升

7.(2019全国Ⅲ,文23)设x,y,z∈R,且x+y+z=1. (1)求(x-1)2

+(y+1)2

+(z+1)2

的最小值;

(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2

≥1

3

成立,证明:a≤-3或a≥-1.

(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2

=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]

≤3[(x-1)2

+(y+1)2

+(z+1)2

],

故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2

≥4

3, 当且仅当x=511

3,y=-3,z=-3时等号成立.

所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2

的最小值为4

3. (2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2

=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]

≤3[(x-2)2

+(y-1)2

+(z-a)2

],

22

故由已知得(x-2)+(y-1)2+(z-a)2

(2+??)

3

,

当且仅当x=4-??1-??3

,y=3

,z=2??-23

时等号成立.

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