精品
(A) (B)
(C) (D)
解析:因为ABCD为等腰梯形,AB=2DC,E为AB的中点,所以AD=DE=CE=BC,又∠DAB=60°,所以△ADE,△DCE,△CEB均为边长为1的正三角形,故翻折后的三棱锥PDCE为正四面体,其高PO1=
=,设球的半径为R,所以R=(
2
-R)+(
2
),得R=
2
,所以V=
π.故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若圆锥的表面积是15π,侧面展开图的圆心角是60°,则圆锥的体积为 . 解析:设圆锥的底面半径是r,母线长是l,高为h,
则有
所以l=6r,r=所以h=5
.
2
,l=
2
.h=l-r=75,
222
所以V=πr·h=π×
2
×5=π.
答案:π
14.如图所示,扇形的中心角为90°,弦AB将扇形分成两个部分,这两部分各以AO为轴旋转一周,所得的旋转体体积V1和V2之比为 .
解析:Rt△AOB绕OA旋转一周形成圆锥,
其体积V1=R,扇形绕OA旋转一周形成半球面,其围成的半球的体积V=
3
R,
3
所以V2=V-V1=R-R=R,
333
精品
所以V1∶V2=1∶1. 答案:1∶1
15.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 .
解析:原两个几何体的总体积V=×π×5×4+π×2×8=
22
π.由题意知新圆锥的高为4,新圆柱的高为8,且
它们的底面半径相同,可设两几何体的底面半径均为r(r>0),则×π×r×4+π×r×8=
22
π,解得r=7,从
2
而r=. 答案:
16.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,EF是棱AB上的一条线段,且EF=b(b 解析:==S△QEF·DD1 =×b×a×a =ab. 2 答案:ab 三、解答题(本大题共5小题,共70分) 17.(本小题满分14分) 如图,正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a,连接A′C′,A′D,A′B,BD,BC′,C′D,得到一个三棱锥. 2 求:(1)三棱锥A′BC′D的表面积与正方体表面积的比值; (2)三棱锥A′BC′D的体积. 解:(1)因为ABCDA′B′C′D′是正方体, 所以A′B=A′C′=A′D=BC′=BD=C′D= a, 所以三棱锥A′BC′D的表面积为4××而正方体的表面积为6a, 2 a××a=2a. 2 精品 故三棱锥A′BC′D的表面积与正方体表面积的比值为=. (2)三棱锥A′ABD,C′BCD,DA′D′C′,BA′B′C′是完全一 样的. 故=V正方体-4=a-4××a×a= 32 . 18.(本小题满分14分) 已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积. 解:如图所示,在三棱台ABCA′B′C′中,O′,O分别为上、下底面的中心,D,D′分别是BC,B′C′的中点,则DD′是等腰梯形BCC′B′ 的高, 所以S侧=3××(20+30)·DD′=75DD′. 又A′B′=20 cm,AB=30 cm,则上、下底面面积之和为 S上+S下=×(20+30)=325 22 (cm). 2 由S侧=S上+S下, 得75DD′=325,所以,DD′=(cm). 又因为O′D′=×20=(cm), OD=×30=5(cm), 所以棱台的高h=O′O===4(cm),由棱台的体积公式,可得棱 台的体积为V=(S 上 +S 下 +)=× (325+×20×30)=1 900(cm). 3 19.(本小题满分14分) 养路处建造圆锥形无底仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12 m,高4 精品 m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3)哪个方案更经济些? 解:(1)如果按方案一,仓库的底面直径变为16 m, 则仓库的体积V1=Sh=×π×()×4= 2 (m). 3 如果按方案二,仓库的高变为8 m, 则仓库的体积 V2=Sh=×π×()×8= 2 =96(m). 3 (2)如果按方案一,仓库的底面直径变为16 m,半径为8 m,棱锥的母线长为 l= =4 (m), π(m), 2 则仓库的表面积S1=π×8×4=32如果按方案二,仓库的高变为8 m. 棱锥的母线长为l= =10(m), 则仓库的表面积S2=π×6×10=60π(m). (3)因为V2>V1,S2 所以方案二比方案一更加经济. 20.(本小题满分14分) 如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为2 cm. 2 (1)这种“浮球”的体积是多少 cm(结果精确到0.1)? (2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克? 解:(1)因为半球的直径是6 cm,可得半径R=3 cm,所以两个半球的体积之和为 3 V球=πR=π·27=36π(cm). 又圆柱筒的体积为V圆柱=πR·h=π×9×2=18π(cm). 所以这种“浮球”的体积是 3 V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6(cm). (2)根据题意,上下两个半球的表面积是 22 S球表=4πR=4×π×9=36π(cm), 又“浮球”的圆柱筒的侧面积为 2 S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm), 2 3 33 精品 所以1个“浮球”的表面积为S==π(m). 2 因此,2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S=2 500× 2 π= 12π(m). 因为每平方米需要涂胶100克, 所以共需要胶的质量为100×12π=1 200π(克). 21.(本小题满分14分) 已知圆柱OO1的底面半径为2,高为4. (1)求从下底面圆周上一点出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长; (2)若平行于轴OO1的截面ABCD将底面圆周截去四分之一,求截面 面积; (3)在(2)的条件下,设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ,较大部分为Ⅱ,求VⅠ∶VⅡ(体积之比). 解:(1)将侧面沿过该点的母线剪开铺平得到一个矩形,邻边长分别是4π和4, 则从下底面圆周上一点出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长4 . (2)连接OA,OB,因为截面ABCD将底面圆周截去, 所以∠AOB=90°, 因为OA=OB=2, 所以AB=2, 而截面ABCD是矩形且AD=4, 所以S矩形ABCD=8. (3)依题知V圆柱=Sh=16π, 三棱柱AOBDO1C的体积是8, 则VⅠ+8=V圆柱=4π, 所以VⅠ=4π-8, 而VⅡ=V圆柱-VⅠ=12π+8, 于是VⅠ∶VⅡ=.