5.1问题一的建模与求解：

I1?kP1sin?1 I2?kP2sin?2r122r22

r1=h1+x sin?1=

22h1 r1h2 r2r2=h2+x sin?2=

222思路：题目要求出最暗点X，即为求函数I(x)的最小值，所以应先求出函数的极值点

5

I(x)=

?3p1h1x(h?x)2125+

3p2h2(s?x)(h?(s?x))2225=

-30x（25?x）25+

54（20-x）（36?（20-x））25

利用MATLAB程序求得I(x)=0时x的值 代码：

s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))') s1=vpa(s,8); s1； 运行结果 s1 = 19.97669581 9.338299136

8.538304309-11.61579012*i 0.2848997038e-1

8.538304309+11.61579012*i

因为小>=0，选取出有效的x值后，利用MATLAB求出对应的I(x)的值，如下表： x 0 0.028489970 9.3382991 19.976695 20 I(x) 0.08197716 0.08198104

0.01824393 0.08447655 0.08447468 6

结论：综上，x=9.33m时，为最暗点。

5.2：问题二的建模与求解：

I(x，h2)=

p1h1(h?x)2123+

p2h2(h?(s?x))2223=

10（25?x）23+

3h2（h?（20-x））2223

思路：与问题一同理，求出函数（x，h2）X为极值时h2的值即为结果。

23p2h2?Ip2=-=0

225223?h2(h2?(s?x))(h2?(s?x))

利用MATLAB程序求得x：

?I?3（020-2h）?3p1h1x3p2h2(s?x)9h2(20?x)=+=+=0

25225225225?x(25?x)(h2?(20?x))(h1?x)(h2?(s?x))

利用MATLAB求解h2：

solve('-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0') ans =

7.4223928896768612557104509932965 14.120774098526835657369742179215

7

由实际情况出发，因此h2=7.42239m

即：当下一根路灯的高度为7.42239m时，X的光照强度最大。

5.3 问题三的建模与求解：

I为关于x、h1、h2的三元函数

I(x，hp2h21，h1h12)=

p(h2?x23+

223

1)(h2?(s?x))

?I?h=p3p21(h-1h1=0 ①1223225

1?x)(h1?(s?x))

?I3p22?h=p2(s?x))-h22(h22322

2?(h?(s?x))52=3h2(h223-

92 ②

2?(20?x))(h2?(20?x)25=0 2)

?I?x=?3p1h1x(h225+3p2h2(s?x)225=?6h1x(h225+9h2(20?x)1?x)(h2?(s?x))1?x)(h220?x)2)5=0 2?(

根据①②③可得： h11=

2x h12=2（20-x）

利用MATLAB求x、h1、h2的值

8

③