∵OB＝OE， ∴∠B＝∠OEB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠OEB＝∠C， ∴OE∥AC， ∵EF为切线， ∴OE⊥EF， ∴EF⊥AC；

（2）解：连接DE，如图，设．⊙O的半径长为r，∵BD为直径， ∴∠BED＝90°，

在Rt△BDE中，∵∠B＝30°， ∴DE＝BD＝r，BE＝r，

∵DF∥BC，

∴∠EDF＝∠BED＝90°， ∵∠C＝∠B＝30°， ∴∠CEF＝60°， ∴∠DFE＝∠CEF＝60°， 在Rt△DEF中，DF＝r，

∴EF＝2DF＝

r，

在Rt△CEF中，CE＝2EF＝r，

而BC＝2，

∴

r+r＝2，解得r＝，

即⊙O的半径长为．

21

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和垂径定理．

23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B，

2

C（点B在点C左侧）．

（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；

（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y＝kx+b经过点D和点E（﹣1，﹣2），求直线DE的表达式；

（3）在（2）的条件下，已知点P（t，0），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围．

【分析】（1）把A点坐标代入可求得m的值，可求得抛物线的表达式，令y＝0可求得B、C两点的坐标；

（2）由（1）可求得抛物线的对称轴，可求得D点坐标，再利用待定系数法可求得直线DE的表达式；

（3）由条件可知当直线和抛物线的图象不能都在x轴上方，结合直线和抛物线的图象可求得t的范围．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3）， ∴m+4＝3． ∴m＝﹣1．

22

∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3． ∵抛物线y＝﹣x+2x+3与x轴交于点B，C， ∴令y＝0，即﹣x+2x+3＝0． 解得 x1＝﹣1，x2＝3． 又∵点B在点C左侧，

∴点B的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（3，0）； （2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1． ∵抛物线的对称轴与x轴交于点D， ∴点D的坐标为（1，0）．

∵直线y＝kx+b经过点D（1，0）和点E（﹣1，﹣2）， ∴解得

22

∴直线DE的表达式为y＝x﹣1；

（3）如图，当P点在D、B两点之间时，M、N都在x轴上方，

∴点M、N至少有一个点在x轴下方的t的范围为：t＜1或t＞3．

【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点坐标是解题的关键，在（3）中注意数形结合思想的应用．

24．对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k属和合函数”．

例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：

k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属和合函数”．

23

（1）①一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k属和合函数”，则k的值为 2 ． ②若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1属和合函数”，求a的值．

（2）反比例函数y＝（k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k属和合函数”，且a+b＝请求出a2+b2的值；

（3）已知二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围．

【分析】（1）①直接利用“k属和合函数”的定义即可得出结论； ②分两种情况：利用“k属和合函数”的定义即可得出结论；

（2）先判断出函数的增减性，利用“k属和合函数”的定义得出ab＝1，即可得出结论； （3）分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k属和合函数”的定义即可得出结论； 【解答】解：（1）①一次函数y＝2x﹣1，当1≤x≤5时，1≤y≤9， ∴9﹣1＝k（5﹣1）， ∴k＝2， 故答案为：2； ②当α＞0时， ∵1≤x≤5， ∴a﹣1≤y≤5a﹣1，

∵函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1属和合函数”， ∴（5a﹣1）﹣（a﹣1）＝5﹣1， ∴a＝1；

当a＜0时，（a﹣1）﹣（5a﹣1）＝5﹣1， ∴a＝﹣1，

（2）∵反比例函数y＝， ∵k＞0，

∴y随x的增大而减小，

当a≤x≤b且1＜a＜b是“1属和合函数”， ∴

＝k（b﹣a），

，

∴ab＝1，

24