最新第七讲高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(师) 下载本文

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平面向量复习

【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】

uuurr1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB或a。 uuurr2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:|AB|或|a|。

rr3.单位向量:长度为1的向量。若e是单位向量,则|e|?1。

rr4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】

5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。

uuuruuur7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB??BA。

8.三角形法则:

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurAB?BC?AC;AB?BC?CD?DE?AE;AB?AC?CB(指向被减数)

9.平行四边形法则:

rrrrrr以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a?b,a?b。

rrrrrrrr10.共线定理:a??b?a//b。当??0时,a与b同向;当??0时,a与b反向。

11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。

rrrr2rrr2r22212.向量的模:若a?(x,y),则|a|?x?y,a?|a|,|a?b|?(a?b) rrrrrra?br 13.数量积与夹角公式:a?b?|a|?|b|cos?; cos??r|a|?|b|rrrrrrrr14.平行与垂直:a//b?a??b?x1y2?x2y1;a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0

题型1.基本概念判断正误:

(1)共线向量就是在同一条直线上的向量。

(2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。

uuuruuur(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD是平行四边形的条件是AB?CD。 uuuruuur(5)若AB?CD,则A、B、C、D四点构成平行四边形。

rrrrrrrrrr(6)若a与b共线, b与c共线,则a与c共线。 (7)若ma?mb,则a?b。

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rrrrrr(8)若ma?na,则m?n。 (9)若a与b不共线,则a与b都不是零向量。

rrrrrrrrrrrra?b?|a|?|b||a?b|?|a?b|(10)若,则a//b。 (11)若,则a?b。

题型2.向量的加减运算

rrrr1.设a表示“向东走8km”, b表示“向北走6km”,则|a?b|? 。 uuuruuuruuuruuuruuuur2.化简(AB?MB)?(BO?BC)?OM? 。

uuuruuuruuur3.已知|OA|?5,|OB|?3,则|AB|的最大值和最小值分别为 、 。

uuuruuuruuuruuurruuurruuuruuur4.已知AC为AB与AD的和向量,且AC?a,BD?b,则AB? ,AD? 。

uuuruuuruuuuuuruuur3uuurr5.已知点C在线段AB上,且AC?AB,则AC? BC,AB? BC。

5题型3.向量的数乘运算

rrrrrr1.计算:2(2a?5b?3c)?3(?2a?3b?2c)?

rrr1r2.已知a?(1,?4),b?(?3,8),则3a?b? 。

2题型4根据图形由已知向量求未知向量

uuuruuuruuurAC表示AD。 1.已知在?ABC中,D是BC的中点,请用向量AB,

uuuruuuruuurruuurr2.在平行四边形ABCD中,已知AC?a,BD?b,求AB和AD。

题型5.向量的坐标运算

uuur1.已知AB?(4,5),A(2,3),则点B的坐标是 。 uuur2.已知PQ?(?3,?5),P(3,7),则点Q的坐标是 。

rrr3.若物体受三个力F,2),F2?(?2,3),F3?(?1,?4),则合力的坐标为 。 1?(1rrrrrrrr4.已知a?(?3,4),b?(5,2),求a?b,a?b,3a?2b。

uuurr5.已知A(1,2),B(3,2),向量a?(x?2,x?3y?2)与AB相等,求x,y的值。

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uuuruuuruuuruuur6.已知AB?(2,3),BC?(m,n),CD?(?1,4),则DA? 。

uuuruuurruuur7.已知O是坐标原点,A(2,?1),B(?4,8),且AB?3BC?0,求OC的坐标。

题型6.判断两个向量能否作为一组基底

uruur1.已知e1,e2是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底: uruururuururuuruurururuuruururuuruururA.e1?e2和e1?e2 B.3e1?2e2和4e2?6e1 C.e1?3e2和e2?3e1 D.e2和e2?e1

2.已知a?(3,4),能与a构成基底的是( ) A.(,) B.(,) C.(?,?) D.(?1,?) 题型7.结合三角函数求向量坐标

rr34554355354543uuuruuuro1.已知O是坐标原点,点A在第二象限,|OA|?2,?xOA?150,求OA的坐标。

uuuruuuro2.已知O是原点,点A在第一象限,|OA|?43,?xOA?60,求OA的坐标。

题型8.求数量积

rrrrrrrrro1.已知|a|?3,|b|?4,且a与b的夹角为60,求(1)a?b,(2)a?(a?b), rrrrr1rr(3)(a?b)?b,(4)(2a?b)?(a?3b)。

2

rrrrrrrrr2.已知a?(2,?6),b?(?8,10),求(1)|a|,|b|,(2)a?b,(3)a?(2a?b), rrrr(4)(2a?b)?(a?3b)。

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题型9.求向量的夹角

rrrrrr|a|?8,|b|?31.已知,a?b?12,求a与b的夹角。

rrrr2.已知a?(3,1),b?(?23,2),求a与b的夹角。

3.已知A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cos?BAC。

题型10.求向量的模

rrrrrrrro1.已知|a|?3,|b|?4,且a与b的夹角为60,求(1)|a?b|,(2)|2a?3b|。

rrrrrrr1r2.已知a?(2,?6),b?(?8,10),求(1)|a|,|b|,(5)|a?b|,(6)|a?b|。

2

rrrrrr|b|?2,|3a?2b|?3,求|3a?b|。 3.已知|a|?1,

rrra题型11.求单位向量 【与a平行的单位向量:e??r】

|a|1.与a?(12,5)平行的单位向量是 2.与m?(?1,)平行的单位向量是 。 题型12.向量的平行与垂直

rr12rrrrrr1.已知a?(1,2),b?(?3,2),(1)k为何值时,向量ka?b与a?3b垂直?(2)k为何值时rrrr向量ka?b与a?3b平行?

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