第一章 导数及其应用
一.导数的概念 1..已知f(x)?,则lim?x?0
f(2??x)?f(2)的值是（ ）
?x11A. ? B. 2 C. D. －2
441x????变式1：设f??3??4,则limf3?h?f3为（ ） h?02h
Ｂ．－2 C．－3
f?x0??x??f?x0?3?x?变式2：设f?x?在x0可导,则lim等于 ?x?0?x A．2f??x0?
B．f??x0?
C．3f??x0?
A．－１
D．1
D．4f??x0?
（ ）
导数各种题型方法总结
请同学们高度重视：
首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f(x)?0得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：
'第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）
第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；
（请同学们参看2010省统测2）
g(x)?0例1：设函数y?f(x)在区间D上的导数为f?(x)，f?(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，
x4mx33x2??恒成立，则称函数y?f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，f(x)? 1262（1）若y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，求m的取值范围；
（2）若对满足m?2的任何一个实数m，函数f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”，求b?a的最大值.
x4mx33x2x3mx2????3x ?g(x)?x2?mx?3 解:由函数f(x)? 得f?(x)?126232（1） Qy?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，
则 ?g(x)?x?mx?3?0 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x)?0
1
2
??g(0)?0??3?0???m?2
?g(3)?0?9?3m?3?0 解法二：分离变量法：
∵ 当x?0时, ?g(x)?x?mx?3??3?0恒成立, 当0?x?3时, g(x)?x?mx?3?0恒成立
22x2?33?x?的最大值（0?x?3）恒成立， 等价于m?xx3而h(x)?x?（0?x?3）是增函数，则hmax(x)?h(3)?2
x?m?2
(2)∵当m?2时f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”
则等价于当m?2时g(x)?x?mx?3?0 恒成立
2变更主元法
再等价于F(m)?mx?x?3?0在m?2恒成立（视为关于
2m的一次函数最值问题）
2?F(?2)?0???2x?x?3?0????1?x?1 ??2F(2)?0???2x?x?3?0 ?b?a?2
1例2：设函数-2 f(x)??2 x3?2ax2?3a2x?b(0?a?1,b?R)
3 （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立，求a的取值范围.
（二次函数区间最值的例子）
22解：（Ⅰ）f?(x)??x?4ax?3a???x?3a??x?a?
Q0?a?1
f?(x) a 3a a 3a 令f?(x)?0,得f(x)的单调递增区间为（a,3a） 令f?(x)?0,得f(x)的单调递减区间为（－?，a）和（3a，+?）
∴当x=a时，f(x)极小值=?
33a?b; 当x=3a时，f(x)极大值=b. 422 （Ⅱ）由|f?(x)|≤a，得：对任意的x?[a?1,a?2],?a?x?4ax?3a?a恒成立①
则等价于g(x)这个二次函数??gmax(x)?a22 g(x)?x?4ax?3a的对称轴x?2a Q0?a?1,
?gmin(x)??aa?1?a?a?2a（放缩法）
2
即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
g(x)?x2?4ax?3a2在[a?1,a?2]上是增函数.
∴
（
g(x)max?g(a?2)??2a?1.?a?1,x?2a a?2?
g(x)min?g(a?1)??4a?4.
于是，对任意x?[a?1,a?2]，不等式①恒成立，等价于
?g(a?2)??4a?4?a,4解得?a?1. ?5?g(a?1)??2a?1??a 又0?a?1,∴
4?a?1. 5点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
第三种：构造函数求最值
题型特征：f(x)?g(x)恒成立?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立；从而转化为第一、二种题型
例3；已知函数f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为?3，
t?62x?(t?1)x?3(t?0) 2（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）当x?[?1,4]时，求f(x)的值域；
（Ⅲ）当x?[1,4]时，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。 g(x)?x3??f/(1)??3?a??3解：（Ⅰ）f(x)?3x?2ax∴?， 解得?
b??2b?1?a??（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在[?1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减 又f(?1)??4,f(0)?0,f(2)??4,f(4)?16 ∴f(x)的值域是[?4,16]
t2（Ⅲ）令h(x)?f(x)?g(x)??x?(t?1)x?3x?[1,4]
22思路1：要使f(x)?g(x)恒成立，只需h(x)?0，即t(x?2x)?2x?6分离变量
/2思路2：二次函数区间最值
二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为f'(x)?0或f'(x)?0在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
3
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知a?R，函数f(x)?13a?12x?x?(4a?1)x． 122（Ⅰ）如果函数g(x)?f?(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数f(x)是(??,解：
??)上的单调函数，求a的取值范围．
f?(x)? （Ⅰ）∵
12x?(a?1)x?(4a?1). 411f?(x)是偶函数，∴ a??1. 此时f(x)?x3?3x，f?(x)?x2?3，
124 令
f?(x)?0，解得：x??23.
列表如下：
x (－∞,－2+ 递增 3) －20 3 (－23,23) － 递减 23 0 (23,+∞) + 递增 f?(x) f(x) 可知：
极大值 极小值 f(x)的极大值为f(?23)?43， f(x)的极小值为f(23)??43.
f(x)是(??,??)上的单调函数，
（Ⅱ）∵函数
∴
f?(x)?12x?(a?1)x?(4a?1)?0，在给定区间R上恒成立判别式法 4122则??(a?1)?4??(4a?1)?a?2a?0， 解得：0?a?2.
4 综上，a的取值范围是{a0?a?2}.
例5、已知函数f(x)?131x?(2?a)x2?(1?a)x(a?0). 32 （I）求f(x)的单调区间；
（II）若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想 （I）f?(x)?x?(2?a)x?1?a?(x?1)(x?1?a). 1、当a?0时,f?(x)?(x?1)?0恒成立,
当且仅当x??1时取“=”号，f(x)在(??,??)单调递增。
2、当a?0时,由f?(x)?0,得x1??1,x2?a?1,且x1?x2,
22f?(x)
单调增区间：(??,?1),(a?1,??)
4
-1 a-1