AE=PQ，

∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL）， ∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°， ∵PN∥DC，

∴∠PFA=∠DEA=60°， ∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，

AM在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=AP，

3AM3∴AP=cos30?=2=2cm；

由对称性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，综上，AP等于1cm或2cm． 故答案为：1或2．

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2、（2014?扬州?28）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA． ①求证：△OCP∽△PDA；

②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；

（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

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【思路分析】 【规范解答】

（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出PC长以及 AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长． 111（2）由DP=2DC=2AB=2AP及∠D=90°，利用三角函数即可求出∠DAP的度数，进而求出∠OAB的度数． （3）由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调， 可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半，只需求出 PB长就可以求出EF长． 解：（1）如图1， ①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°． 28