【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用． 【分析】由已知可得
=
+2
，
=﹣
=+2+
，
=﹣
+
，
2
==，
+3
2
，=﹣+3，
，结合已知求出=，可得答案．
【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， ∴=∴?∴又∵∴
?
2
=++3
，，
2
=﹣=﹣
2
++3
， ，
?==9
2
﹣
2
=﹣1，
﹣
2
=4， ，
=，=
+2=4
=，
=﹣
2
+2，
2
﹣
=，
故答案为：
【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．
14．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 8 ．
【考点】HU：解三角形；HW：三角函数的最值．
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【专题】56：三角函数的求值；58：解三角形． 【分析】结合三角形关系和式子
sinA=2sinBsinC
可推出
sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．
【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC， 可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①
由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0， 在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC， 又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣则tanAtanBtanC=﹣
?tanBtanC，
，
②，
由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣
令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0， 由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1， tanAtanBtanC=﹣
=（
=﹣
，
＜0，
）2﹣，由t＞1得，﹣≤
因此tanAtanBtanC的最小值为8，
另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC， sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，
两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC， ∵﹣tanA=tan（B十C）=
，
∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC， ∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2令tanAtanBtanC=x＞0， 即x≥2
，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．
，
当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2， 解得tanB=2+均为锐角．
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，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C
【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．
二、解答题（共6小题，满分90分） 15．（14分）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=（1）求AB的长； （2）求cos（A﹣
．
）的值．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理；HU：解三角形．
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值；58：解三角形．
【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；
（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，B∈（0，π）， ∴sinB=， ∵
，
）的值．
∴AB==5；
（2）cosA═﹣cos（π﹣A）=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣∵A为三角形的内角， ∴sinA=∴cos（A﹣
， ）=
cosA+sinA=
．
．
【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：
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（1）直线DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F．
【考点】LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直．
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1； （2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．
【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AC，
∵ABC﹣A1B1C1为棱柱， ∴AC∥A1C1， ∴DE∥A1C1，
∵A1C1?平面A1C1F，且DE?平面A1C1F， ∴DE∥A1C1F；
（2）在ABC﹣A1B1C1的直棱柱中， ∴AA1⊥平面A1B1C1， ∴AA1⊥A1C1，
又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1?平面AA1B1B， ∴A1C1⊥平面AA1B1B， ∵DE∥A1C1，
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