→→
故AB⊥AC，△ABC为直角三角形．
→→→→→
9．若M是△ABC的边BC上的一点，且CM＝3MB，设AM＝λAB＋μAC，则λ的值为________． 3答案 4
解析 由题设知＝3，过M作MN∥AC交AB于N，
CMMB
则＝＝MNBNBM1
＝，
ACBABC4
AN3从而＝，
AB4
→→→→→3→1→又AM＝λAB＋μAC＝AN＋NM＝AB＋AC，
443
所以λ＝.
4
→→
10．(2019·钦州质检)已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，MN＝2e1－3e2，NP＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________. 答案 －4
解析 因为M，N，P三点共线， →→所以存在实数k使得MN＝kNP， 所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)， 又e1，e2为平面内两个不共线的向量，
??2＝kλ，可得?
?－3＝6k，?
解得λ＝－4.
→→→
11．如图所示，设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，求△ABC与△AOC的面积之比．
解 取AC的中点D，连接OD，
→→→则OA＋OC＝2OD， →→∴OB＝－OD，
∴O是AC边上的中线BD的中点， ∴S△ABC＝2S△OAC，
∴△ABC与△AOC面积之比为2∶1.
→→
12.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设AB＝a，AC＝
b，试用a，b表示向量AO.
→
解 方法一 由D，O，C三点共线， →→→→?1?可设DO＝k1DC＝k1(AC－AD)＝k1?b－a?
?2?1
＝－k1a＋k1b(k1为实数)，
2→→→→
同理，可设BO＝k2BF＝k2(AF－AB) 1?1?＝k2?b－a?＝－k2a＋k2b(k2为实数)，① 2?2?1?1→→→?又BO＝BD＋DO＝－a＋?－k1a＋k1b? 2?2?1
＝－(1＋k1)a＋k1b，②
2
11
所以由①②，得－k2a＋k2b＝－(1＋k1)a＋k1b，
221?1?即(1＋k1－2k2)a＋?k2－k1?b＝0.
2?2?又a，b不共线， 1??2?1＋k－2k?＝0，所以?1
??2k－k＝0，
1
2
2
1
1
k＝，??3
解得?2
k＝??3.12
21→
所以BO＝－a＋b.
33→→→所以AO＝AB＋BO
?21?1
＝a＋?－a＋b?＝(a＋b)．
?33?3
方法二 延长AO交BC于点E，O为△ABC的重心，则E为BC的中点， →2→21→→1
所以AO＝AE＝×(AB＋AC)＝(a＋b)．
3323
→→→
13．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若DE＝λAB＋μAD(λ，μ为实数)，则λ＋μ等于( )
2
2
515A.B.C．1D. 8416答案 A
→1→1→1→1→解析 DE＝DA＋DO＝DA＋DB
22241→1→→1→3→
＝DA＋(DA＋AB)＝AB－AD， 2444
13522
所以λ＝，μ＝－，故λ＋μ＝，故选A.
448
→
14．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC＝→→
λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( ) A．(0,1) C．(1，2] 答案 B
→→
解析 设OC＝mOD，则m>1， →→→因为OC＝λOA＋μOB， →→→所以mOD＝λOA＋μOB，
B．(1，＋∞) D．(－1,0)
→λ→μ→即OD＝OA＋OB，
mm又知A，B，D三点共线， λμ
所以＋＝1，即λ＋μ＝m，
mm所以λ＋μ>1，故选B.
→1?→1→1→?
15．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP＝?2OA＋OB＋OC?，
22?3?则点P一定为△ABC的( ) A．BC边中线的中点
B．BC边中线的三等分点(非重心) C．重心 D．BC边的中点 答案 B
解析 设BC的中点为M， 1→1→→
则OC＋OB＝OM， 22
→1→→1→2→∴OP＝(OM＋2OA)＝OM＋OA，
333→→→→→即3OP＝OM＋2OA，也就是MP＝2PA， ∴P，M，A三点共线，
且P是AM上靠近A点的一个三等分点．
16．设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集合．若a∈W，且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模．则称a是W的极大向量．有下列命题： ①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；
②给定平面内两个不共线向量a，b，在该平面内总存在唯一的平面向量c＝－a－b，使得W＝{a，b，c}中的每个元素都是极大向量；
③若W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量． 其中真命题的序号是________． 答案 ②③
解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a，b，
c围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量
都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元