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②判定△PAD∽△DCQ，得到AP?CQ=25，利用这个关系式对
分式的化简求值，结论为
11?进行BPBQ111?? 不变。 BPBQ5例4：（2012四川成都12分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+m (m为常数)的图象与x轴交于点A(?3，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线
54y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，且a≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1?x1，y1?，M2?x2，y2?两点，试探究并写出探究过程．
M1P?M2P是否为定值，
M1M2
【答案】解：（1）∵y=x+m经过点（﹣3，0），∴?∴直线解析式为y=x+541515x+m=0，解得m=。
4415。 41515令x=0，得y=。∴C（0，）。
44∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0）， ∴另一交点为B（5，0）。
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5）， ∵抛物线经过C（0，
5415151），∴=a?3（﹣5），解得a=?。 444- 29 -
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∴抛物线解析式为y= ?（x+3）（x﹣5），即y=?x2+x+14141215。 4（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则AC∥EF且AC=EF，如答图1。
（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴
于点G，
∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG。 又∵∠COA=∠EOF=900，AC=EF， ∴△CAO≌△EFG（AAS）。
1515，即yE=。 44151115∴=?xE2+xE+， 4424∴EG=CO=
解得xE=2（xE=0与C点重合，舍去）。 ∴E（2，
1515），S?ACEF=。 421531+10515），S?ACE′F′=。
44（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′， 同理可求得E′（31+1， ?（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可。
如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴
对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）。
15）， 4315∴直线BC解析式为y=?x+。
44∵B（5，0），C（0，
∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）。
令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k，
?y?kx?3?k?联立?12115得
y=?x+x+?424?x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0， ∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3。
∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）。 根据勾股定理得：
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M1M2=
?x1?x2?2+?y1?y2?2=?x1?x2?2+k2?x1?x2?2==1+k2?，
M1P=
1+k2??x1?x2?2
?x1+x2?2?4x1x2=1+k2??2?4k?2?4??4k?3?=4?1+k2??x1?1?2+?y1?3?2=?x1?1?2+?kx1+3?k?3?2=M2P=
1+k2??x1?1?2，
?x2?1?2+?y2?3?2=?x2?1?2+?kx2+3?k?3?2=∴M1P?M2P=1+k2?1+k2??x2?1?2。
2???x1?1?2?x2?1?2=?1+k2??2??x1x2??x1+x2?+1?? 2=1+k2????4k?3??2?4k?+1??=41+k
????∴M1P?M2P=M1M2。∴
M1P?M2P=1为定值。
M1M2【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。
【分析】（1）把点A的坐标代入y=x+m即可求出m的值。由抛物线的对称轴和点A的坐标可得抛物线与x轴另一交点B的坐标，从而设抛物线的交点式，由点C在抛物线求出待定系数得到抛物线解析式。
（2）分点E在x轴上方和下方两种情况讨论即可。
（3）设出M1M2的解析式，与抛物线联立，根据一元二次方程根与系数的关系得
M1、M2两点坐标的关系：x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3，y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k， y1﹣y2=k（x1﹣x2）。由勾股定理表示出M1M2、M1P和M2P，化简即可求证。
例5：（2012广西崇左10分）如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上
移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E、F移动过程中； （1）∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由.
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（2）△ECF的周长是否发生变化？请说明理由.
练习题：
1. （2011江西省B卷9分）如图，将△ABC的顶点A放在⊙O上，现从AC与⊙O相切于点A（如图1）的位置开始，将△ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为?（0°
?的长 ③∠AFE的度数 ④点O到(1)在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长 ②EF
EF的距离.其中不变的量是 （填序号）；
(2)当BC与⊙O相切时，请直接写出?的值，并求此时△AEF的面积.
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