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∴当m=时，E点只有1个，当0 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。 【分析】（1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度。 （2）如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H，构造相似三角形△QHM 与△QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即 9494QMQHQH???tan?AOM=2为定值．需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成QNQGOH立。 （3）由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED。 在相似三角形△ABE与△OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度，如图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度。设OE=x， 1?3?95?+，这是一个二次则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式m=??x?5?2?4函数．借助此二次函数图象（如图3），可见m在不同取值范围时，x的取值（即OE的长度，或E点的位置）有1个或2个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。 例2：（2012山东淄博4分）如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有【 】 2 (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个 【答案】C。 【考点】正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上中线的性质，三角形内角和定理。 - 25 - http://www.czsx.com.cn 【分析】如图，图①中，∠ABC= 即∠ABC＜22.50。 根据含30度角的直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半的性质，CD≠ 11∠ABD＜×450＜∠DBE， 221BC。 2 图②中，由折叠的性质，∠ABC=∠ABF，EC∥FB， ∴∠ABC=∠ABF=∠ADE=∠BDC。∴BC=DC。 又∵由正方形对折的性质和平行线的性质，知AD=BD， ∴根据直角三角形斜边上中线的性质，得DC= 满足它的一条直角边等于斜边的一半。 图③中，由正方形对折的性质，它的一条直角边等于另一条直角边的一半，不可能再有一条直角边等于斜边的一半。 图④中，由正方形折叠的性质和平行线的性质，知AB=CB，AB=2BD， ∠ABE=∠CBE， ∴BC=2BD。∴∠BCD=300。∴∠CBD=600。 ∵∠ABE＋∠CBE＋∠CBD=1800。∴∠ABE =600。∴∠AEB =300。 ∴AB= 11AB，即BC=AB。 221BE。满足它的一条直角边等于斜边的一半。 2 综上所述，这样的图形有2个。故选C。 例3：（2012四川绵阳14分）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+ 1x +c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（－3，60），M（0，－1）。已知AM=BC。 （1）求二次函数的解析式； （2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式； （3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N。 ①若直线l⊥BD，如图1所示，试求 11?的值； BPBQ②若l为满足条件的任意直线。如图2所示，①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。 - 26 - http://www.czsx.com.cn 【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+ 1x +c的图象经过点B（－3，0），M（0，－1）， 611???9a????3??c?0 ?a?∴ ? ，解得?66。 ???c??1?c??1∴二次函数的解析式为：y?x2?x?1。 （2）证明：在y?x2?x?1中，令y=0，得x2?x?1?0， 解得x1=－3，x2=2。 ∴C（2，0），∴BC=5。 令x=0，得y=－1，∴M（0，－1），OM=1。 又AM=BC，∴OA=AM－OM=4。∴A（0，4）。 设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示， 则yD?x2?x?1=OA=4， 解得x1=5，x2=－6（位于第二象限，舍去）。 ∴D点坐标为（5，4）。∴AD=BC=5。 又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形， 即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。 设直线BD解析式为：y=kx+b，∵B（－3，0），D（5，4）， 16161616161616161?k????3k?b?0 ?2。 ∴ ?，解得：??5k?b?4?b?3?2?- 27 - http://www.czsx.com.cn ∴直线BD解析式为：y?13 x?。 22（3）在Rt△AOB中，AB?OA2?OB2?5， 又AD=BC=5，∴?ABCD是菱形。 ①若直线l⊥BD，如图1所示， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD。∴AC∥直线l。∴∵BA=BC=5，∴BP=BQ=10。 ∴ BABCBN1???。 BPBQBD211111????。 BPBQ10105②若l为满足条件的任意直线， 如图2所示，此时①中的结论依然成立，理由如下： ∵AD∥BC，CD∥AB，∴△PAD∽△DCQ。∴∴AP?CQ=AD?CD=5×5=25。 ∴ APAD?。 CDCQ1111115?CQ?5?AP??????BPBQ AB?APBC?CQ 5?AP5?CQ?5?AP??5?CQ? ?。 10?AP?CQ10?AP?CQ10?AP?CQ1???25+5?AP?CQ?+AP?CQ25+5?AP?CQ?+2550+5?AP?CQ?5【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形、菱形的判定和性质，平行线间的比例线段关系，相似三角形的判定和性质，分式化简。 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式。 （2）首先求出D点的坐标，可得AD=BC且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行 四边形；再根据B、D点的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式。 （3）本问的关键是判定平行四边形ABCD是菱形。 ①推出AC∥直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ的长 度，计算出 111??。 BPBQ5- 28 -