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由（1）可知，0＜t＜4，∴t1=6+25不符合题意，舍去。 ∴当t=6?25秒时，四边形APQF是梯形。:Z*xx*k.Com] 【考点】动点和翻折问题，矩形的性质，勾股定理，翻折对称的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的性质，解一元二次方程。

【分析】（1）由勾股定理可求PC而得点C的坐标，根据矩形的性质可得点D的坐标。点P到达终点所需时间为8÷2=4秒，点Q到达终点所需时间为4÷1=4秒，由题意可知，t的取值范围为：0＜t＜4。

（2）根据相似三角形和翻折对称的性质，求出S关于t的函数关系式，由于关系式

为常数，所以△AEF的面积S不变化，S=32。

（3）根据梯形的性质，应用相似三角形即可求解。

例3：（2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将

正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5. ⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；

⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数； ⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.

CGD=tanPAG?【答案】解：（1）∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则tan?。∴

CDPG。 =GDAG∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3－x，AG=4－x。

4?x4?x1y，即y=。∴y关于x的函数关系式为y=。 =3?x3?x3?x4?x4?x当y =3时，3=，解得:x=2.5。

3?x∴

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（

∵S1=?GP?GD=?2

）

1214?x11113??3?x???x+2，S2=?GD?CD=??3?x??1??x+，

23?x222221??13?1为常数。 ∴S1?S2=??x+2?????x+???2??22?2（3）延长PD交AC于点Q.

∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠CAD=45°。 ∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°。 ∴∠GDP=∠ADQ=45°。

∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。

5?54?xx=x2?5x+5=0，，化简得：解得：。

23?x5?5∵0≤x≤2.5，∴x=。

2∴3?x=在Rt△DGP中，PD=?5?5?2+10。 =23?x=23?=????0??2?2cos45?GD【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由tan?CGD=tan?PAG可解出x的值。

（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可。

（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的

范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度。

例4：（2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合． （1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

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【答案】解：（1）证明：如图，连接AC

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， ∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠FAC。

∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。 ∴△ABC和△ACD为等边三角形。 ∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。

∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC， ∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。

（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：

由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。

∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。 作AH⊥BC于H点，则BH=2，

11S四边形AECF?S?ABC??BC?AH?BC?AB2?BH2?43。

22由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短． 故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF

的面积会最小，

又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．

1∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF?43??23?2∴△CEF的面积的最大值是3。

?23???3?22?3。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。

【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。

（2）由△ABE≌△ACF

可得

S△ABE=S△ACF，故根据

S

四

边

形

AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可得四边形

AECF的面积是定值。当正三角形AEF

的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF，则△CEF的面积就会最大。

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例5：（2012湖南益阳12分）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1． （1）求证：△ABE≌△BCF；

（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；

（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC。∴∠ABF+∠CBF=90°。

∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。

在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF， ∴△ABE≌△BCF（ASA）。 （2）解：∵正方形面积为3，∴AB=3。

在△BGE与△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，

∴△BGE∽△ABE。

∴

S?BGEBE2 =()。 S?ABEAE又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4。

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