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4. （2011辽宁营口14分）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．

(1)如图(1)，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)；

(2)如图(2)，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

(3)如图(3)，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)

(1) (2)

5. （2011贵州遵义12分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两

个动点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，．．点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0

（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？

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（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．

6. （2011黑龙江龙东五市8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R。 （1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=

12（不需证明）。 5（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，

则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。 （3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间

又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。

二、面积（和差）为定值问题： 典型例题：

例1：（2012湖北十堰3分）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO=6+33；⑤S?AOC?S?AOB?6+93．其中正确的结论是【 】 4

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A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 【答案】A。

【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。

【分析】∵正△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。

∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO=BO′，∠O′AO=600。

∴∠O′BA=600－∠ABO=∠OBA。∴△BO′A≌△BOC。

∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到。故结论①正确。 连接OO′，

∵BO=BO′，∠O′AO=600，∴△OBO′是等边三角形。∴OO′=OB=4。故结论②正确。 ∵在△AOO′中，三边长为O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一组勾股数，

∴△AOO′是直角三角形。

∴∠AOB=∠AOO′＋∠O′OB =900＋600=150°。故结论③正确。

11S四边形AOBO??S?AOO??S?OBO???3?4+?4?23?6+43。故结论④错误。

22如图所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，

点O旋转至O″点．

易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的

直角三角形。

113393=6+则S?AOC?S?AOB?SAOCO??S?COO??S?AOO???3?4+?3?。

2224故结论⑤正确。

综上所述，正确的结论为：①②③⑤。故选A。

例2：（2012广西玉林、防城港12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=25.

（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；

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（2）连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.

（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？

【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，

在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC=PQ?CQ?∴OC=OP+PC=4+4=8。[来源:Www.zk5u.com] 又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）。 t的取值范围为：0＜t＜4。 （2）结论：△AEF的面积S不变化。

∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC。 ∴222?25??22=4， CECQCEt8t?，即，解得CE=。 ?ADDQ4?t84?t由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4－t，则CF=CD+DF=8－t。 S=S梯形AOCF＋S△FCE－S△AOE=111（OA+CF）?OC+CF?CE－OA?OE 2221118t8t= [4＋（8－t）]×8+（8－t）?－×4×（8＋）。 224?t24?t化简得：S=32为定值。

所以△AEF的面积S不变化，S=32。

（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF。

由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF。

∴CP：AD=CQ：DF，即8－2t：8= t：4－t，化简得t2－12t＋16=0， 解得：t1=6+25，t2=6?25。

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