1．用直接开平方法解一元二次方程． 2．理解“降次”思想．

3．理解x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p≥0?

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

21．2.1 配方法(2)

1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．

2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．

重点：掌握配方法解一元二次方程．

难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程．

(2分钟)

1．填空：

(1)x2－8x＋__16__＝(x－__4__)2； (2)9x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2； pp(3)x2＋px＋__()2__＝(x＋____)2.

222．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．

一、自学指导．(10分钟)

问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少米？

设场地的宽为x m，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为16 m2，得到方程__x(x＋6)＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．

探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0?

对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？

解：移项，得x2＋6x＝16，

6b

两边都加上__9__即__()2__，使左边配成x2＋bx＋()2的形式，得

22

__x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，

左边写成平方形式，得

__(x＋3)2＝25__，

开平方，得

__x＋3＝±5__， (降次)

即 __x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，

解一次方程，得x1＝__2__，x2＝__－8__．

归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．

问题2：解下列方程：

(1)3x2－1＝5； (2)4(x－1)2－9＝0； (3)4x2＋16x＋16＝9.

15

解：(1)x＝±2；(2)x1＝－，x2＝；

2271

(3)x1＝－，x2＝－. 22

归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：

(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；

(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边； (3)方程两边同时除以二次项系数a；

(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．填空：

(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2； 11 (2)x2－x＋____＝(x－____)2；

42(3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)2.

2．解下列方程：

(1)x2＋6x＋5＝0; (2)2x2＋6x＋2＝0； (3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.

解：(1)移项，得x2＋6x＝－5，

配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4， 由此可得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5. (2)移项，得2x2＋6x＝－2，

二次项系数化为1，得x2＋3x＝－1， 335

配方得x2＋3x＋()2＝(x＋)2＝，

2243553

由此可得x＋＝±，即x1＝－，

2222x2＝－53－. 22

(3)去括号，整理得x2＋4x－1＝0， 移项得x2＋4x＝1， 配方得(x＋2)2＝5，

x＋2＝±5，即x1＝5－2，x2＝－5－2.

点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？

解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程： 111

(8－x)(6－x)＝××8×6， 222

即x2－14x＋24＝0， (x－7)2＝25， x－7＝±5，

∴x1＝12，x2＝2，

x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合题意，舍去．

答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半． 点拨精讲：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．用配方法解下列关于x的方程：

(1)2x2－4x－8＝0； (2)x2－4x＋2＝0； 1

(3)x2－x－1＝0 ; (4)2x2＋2＝5.

2

解：(1)x1＝1＋5，x2＝1－5； (2)x1＝2＋2，x2＝2－2； 117117(3)x1＝＋，x2＝－；

4444(4)x1＝

66，x2＝－. 22

2．如果x2－4x＋y2＋6y＋z＋2＋13＝0，求(xy)z的值．

解：由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋z＋2＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋z＋2＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.

1－

∴(xy)z＝[2×(－3)]2＝.

36

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

1．用配方法解一元二次方程的步骤． 2．用配方法解一元二次方程的注意事项．

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

21．2.2 公式法

1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念． 2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．

重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式的推导．

(2分钟)

用配方法解方程：

(1)x2＋3x＋2＝0； (2)2x2－3x＋5＝0. 解：(1)x1＝－2，x2＝－1； (2)无解．

一、自学指导．(8分钟)

问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？

－b＋b2－4ac

问题：已知ax＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝，x2＝

2a

2

－b－b2－4ac

. 2a

分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，－b±b2－4ac

将a，b，c代入式子x＝就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．

2a

－b±b2－4ac(2)x＝叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．

2a

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．

(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？

(1)2x2－3x＝0； (2)3x2－23x＋1＝0； (3)4x2＋x＋1＝0.

3

解：(1)x1＝0，x2＝；有两个不相等的实数根；

2 (2)x1＝x2＝

3

；有两个相等的实数根； 3

(3)无实数根．

点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．