?101?n；反之，若x的相对误差限为2x1 er? 1

?101?n，则x至少有n位有效数字。 2(x1?1)

9．下列各数都是对真值进行四舍五入后获得的近似值，试分别写出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数。

（1）x1?0.024 （2）x2?0.4135 （3）x3?57.50 （4）x4?60000 （5）x5?8?105；

x*?xe解：（1）e?x?x1?0.0005；er???0.0021；有三位有效数字。 xx * 1

x*?xe

（2e?x2?x2?0.00005er?；有四位有效数字。 ??0.000121 xx *

x*?xe xx *

x*?xe

（4）e?x4?x4?0.5；er?；有五位有效数字。 ??0.0000084 xx *

x*?xe

（5）e?x5?x5?0.5；er?；有六位有效数字。 ??0.000000625 xx *

10．为了使的相对误差?0.1%，问至少应取几位有效数字？

解：由的首位数是4.设近似数x有n位有效数字，由定理4.1可知，相对误差 *

er(x*)? 1

?101?n?0.001，解得n?3.097，即取4位有效数字，近似数的相对误差2?4

不超过0.1%。

11．已知y?p(x)?x?x?1150,x?并求x和y的相对误差。 解：y?p(

* 2 *

100100

,x?33，计算y*?p()及y?p(33)，33 1001002100

)?()?()?1150??5.55555? 333 y?p(33)?(33)2?(33)?1150??28 *

? e(x)?x?x?0.333 er(x)? e(x)

?0.0101? x *

4 e(y)?y?y?22.4444? er(y)? e(y)

?0.8015?87 y

12．写出误差估计的一般公式（以二元函数z?f(x,y)为例）。 解：二元函数z?f(x,y)的绝对误差： e(z)? ?f?f

|(x,y)?e(x)?|(x,y)?e(y) ?x?y 二元函数的相对误差： er(z)? e(z)?fe(x)?fe(y)

?|(x,y)??|(x,y)? z?xz?yzx?fy?f

?|(x,y)?er(x)??|(x,y)?er(y) z?xz?y ?

13．用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为

v?220?2v，i?10?0.1a，求这个电阻的阻值r，并估算其绝对误差和相对误差。

解：e(v)?2，e(i)?0.1，又r? v?r1?rv,?,??2。所以： i?vi?ii e(r)? ?r?r

|(v,i)?e(v)?|(v,i)?e(i)??v?i

?r?r1220|(v,i)?e(v)?|(v,i)?e(i)??2??0.1?0.42?v?i10100 er(r)? e(r)

?1.99?10?2。 r 2 **

14．若x1?1.03?0.01,x2?0.45?0.01，计算y?x1? 1x2

e的近似值，并估计e(y)及2 其上界。

解：y?(1.03)? 2

10.45e 2 1*11****

e(y)?y*?y?(x1?ex2)?(x1?ex2)?(x1?x1)(x1?x1)?(ex2?ex2) 222

*1x21*

?(x?x1)(x?x1)?(e?ex2)?2.06?10?2??e??0.01,??(x2,x2) 22 * 1*1 *

15．已测得某场地长为l?110m，宽d的值为d?80m，已知e(l)?l?l?0.2m，

e(d)?d*?d?0.1m，试求面积s?ld的绝对误差限和相对误差限。 解：由s?ld,

?s?s?d,?l，e(l)?l*?l?0.2m，e(d)?d*?d?0.1m。?l?d ?s?s?s?s|(l,d)?e(l)?|(l,d)?e(d)?|(l,d)?e(l)?|(l,d)?e(d) 可得： ?l?d?l?d

?110?0.2?80?0.1?30 e(s)? er(s)? e(s)

?3.4?10?3。 s

16．掌握二元函数的加、减、乘、除和开方运算的绝对误差和相对误差估计公式。解：（1）加、减运算：由

于??x?y?/?x?1??x?y?/?y?1,??x?y?/?x?1,??x?y?/?y??1,，所以

e?x?y??e?x??e?y?,er?x?y??x/?x?y??er?x??y/?x?y??er?y?,e

?x?y??e?x??e?y?,er?x?y??x/?x?y??er?x??y/?x?y??er?y?,从而有|er?x?y?|?|x/?x?y?|?er?x?|?|y/?x?y?|?|er?y?| （2）乘法运算： 由于

??xy???xy?所以e?xy??ye?x??xe?y?,er?xy??er?x??er?y?，从而?y,?x，?x?y

|e?xy?|?|y|?|e?x??|x|?|e?y?| （3）除法运算： 由于?() x y ?x?

1xx,?()?y??2yyy ，所以e()? x y1x

e(x)?2e(y)，yy x

er()?er(x)?er(y) y

（4）乘方及开方运算： ?xn

?nxn?1，所以e?xn??nxn?1e?x?,er?xn??ner?x? 由于?x 17．求方程x?56x?1?0的两个根，使它至少具有4位有效数字（783?27.982）。 2 ??

56?(?56)2?4?1?1

解：x1??28?27.982?55.782 2?1 x2? 2 c1

??0.017863 x155.782

19．求方程x?16x?1?0的较小正根，要求有3位有效数字。 16?(?16)2?4?1?1

解：x1??8?7.937?15.937 2?1 x2?