P在结论中周延，因此它在前提中也须周延。又小前提已为特称否定，因此大前提只能是全称肯定命题A，而肯定命题的谓项不周延，因此，P在大前提中只能是主项，于是M便为谓项。这样，M在大前提中不周延，在小前提中必须周延，而O命题只有谓项周延，所以，M是小前提的谓项，于是小前提的主项是S。

7. M（A）P S（A）M S A P

理由：结论为全称肯定命题（A），两个前提都必须为全称肯定命题（A）。 8. P（A）M P（E）M S（E）M 或 S（A）M S E P S E P

理由：结论为全称命题，所以两个前提都是全称命题；结论为否定命题，所以前提中一个为肯定命题，另一个为否定命题。 9. M（A）P M（E）P S I M 或 S I M S（I）P S（O）P

理由：小前提为特称命题，所以大前提只能是全称命题（A或E），结论只能是特称命题。若大前提为A命题，则结论只能是I。若大前提为E命题，则结论只能是O。

10. M I P M（A）S S（I）P

理由：前提中有一为特称命题，所以结论只能是特称命题；且P在前提中不周延，所以P在结论中不得周延，因此，结论只能是肯定命题。故结论是特称肯定命题（I），并且前提不能有否定命题。又，前提之一为特称命题，所以另一就应为全称命题，因此小前提是全称肯定命题（A）。

11. P E M P E M M（A）S 或 M（I）S S（O）P S（O）P

理由：前提之一为全称否定命题（E），所以结论也应为否定命题，并且另一前提应为肯定命题（全称A亦可，特称I亦可），故S在前提中不可能周延，所以S在结论中也不能周延，因此，结论应是特称否定命题（O）。

12. （M）（A）（P） （S）（A）（M） S A P

理由：结论为全称肯定命题（A），两个前提都必须为全称肯定命题（A）。又S在结论中周延，S须在小前提中周延，所以S是小前提的主项，这样小前提的谓项是M。M在小前提中不周延，它在大前提中必须周延，所以，M是大前提是主项，这样大前提的谓项就是P。

13. M I P （M）（A）（S） S （ I ）P

理由：由一前提为特称命题知结论也应为特称命题，又P在前提中不周延，所以它在结论中也不能周延，这样，结论只能是特称命题。因此，另一前提也只能是肯定命题，且应为全称（即A）。由于M在大前提中不周延，因此，它在小前提中必须周延，故在小前提中M是主项，S是谓项。

14. （M） O （P） （M）（A）（S） S（O）P

理由：由前提之一为特称否定命题（O），得到另一前提为全称肯定命题（A），结论为特称否定命题（O），于是P在结论中周延，所以它在前提中亦要周延，因此，P是大前提的谓项，这样，大前提的主项就是M。M在大前提中不周延，就要求它在小前提

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中周延，因此，M是小前提的主项，这样小前提的谓项就是S。

15. P （A） M P （I） M （M）（A）（S） 或 （M）（A）（S） S I P S I P

理由：结论是肯定命题，所以两个前提都是肯定命题（A或I）。因此，M在大前提中就不周延，它在小前提中须周延，因此，小前提只能是A命题，且M在其中是主项，S是谓项。

16. （P）（A）（M） S O M S（O）P

理由：前提之一为特称否定命题（O），所以另一前提必为全称肯定命题（A），结论必为特称否定命题。这样P在结论中周延，P在前提中也应周延，所以大前提的主项应为P，M为谓项。

17. （M）E（P） （P）E（M） M I S 或 M I S S（O）P S（O）P

理由：前提中有一否定，有一特称，所以，结论必为特称否定。E命题的主项可以互换。 二十、运用三段论的规则，回答下列问题。

1. 不能。因为中项B在前提中一次也没有周延，违反规则一。

2. 不能。因为有一个前提为否定，所以结论应为否定，大项B在结论中周延，但它在前提中不周延。

3. 假设结论全称的正确三段论其中项周延两次。因为结论全称，所以，小项S在结论中周延，那么S在前提中周延；小前提的中项M周延，所以，小前提必为SEM/MES。前提中有一否定，结论必否定，大项P在结论中周延，那么P在前提中周延；大前提的中项M也周延，所以，大前提必为PEM/MEP。两个否定前提不能得结论，所以假设错误。所以，如果正确的直言三段论结论是全称的，则中项不能周延两次。

4. 不能。因为中项B在前提中一次也没有周延，违反规则一。

5. 这个三段论的大前提应是全称肯定命题。因为中项在前提中须至少周延一次，而该三段论前提中只有大前提中有一个词项周延，所以这个周延的项必是中项M，这即是说大项和小项在前提中都不周延，因此它们在结论中也必是不周延的，所以结论只能是特称肯定命题，因此大前提应是肯定命题，而其中有一个词项周延，所以它是全称肯定命题。

6. 其式为AOO式。因为大项在结论中周延，小项在结论中不周延，所以，结论是特称否定命题O。大项在结论中周延，在前提中必须周延，而大前提是肯定的，所以，大前提必是全称肯定命题A。结论否定，小前提必否定，而小项在前提中不周延，所以，小前提必是特称否定O。所以其式为AOO。

7. 同5。

8. 当大小前提都是全称肯定命题时，结论便可以为A命题。当大前提是全称否定命题，小前提是全称肯定命题时，结论便为E命题。当大前提是全称肯定命题，小前提是特称肯定命题时，结论便为I命题。当大前提是全称否定命题，小前提是特称肯定命题时，结论便为O命题。

9. 该三段论属于第三格，有效。因为它遵守了三段论的一般规则。

10. 该三段论的形式为：MAP，SOM，所以，SOP。不正确，它犯了“大项不当周延”的错误。 11. 不能必然推出“有B不是C”。否则将犯“大项不当周延”的错误。 可以推出“有C不是B”，这一形式遵守了三段论的一般规则。

12. 它是第三格的OAO式。因为由大前提为O命题可知其结论必是SOP，于是大项P在结论中周延，因此它在前提中也要周延，故大前提为MOP，中项M在大前提中不周延。再根据两个否定命题不能得结论及两个特称命题不能得结论，所以此三段论的小前提必为全称肯定命题A。中项在大前提中不周延，在小前提中必须周延，所以，小前提为MAS。

13. 不能。若一个三段论三个词项都周延两次，其只可能是EEE式，而这违反了规则“两个否定前提不能得结论”。 14. 因为结论否定，大项在结论中周延，就要求它在前提中周延，而如果大前提是I命题，则大项在前提中就不可能周延，违反规则，所以大前提不能是I命题。

15. 由大前提是肯定命题且大项在前提中周延知大前提为PAM，由小项在结论中不周延，大项在结论中周延知结论为SOP，

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由以上两点可知小前提必是否定命题，且小项在前提中不周延，可知小前提为SOM。所以，这个三段论是PAM，SOM，所以，SOP。

16. （1）证明第二格的特殊规则如下：

① 因为在第二格中中项是两个前提的谓项，而肯定命题谓项不周延，所以，第二格的两个前提中必有一个是否定的。 ② 由①可知前提有一个是否定的，结论必否定，大项在结论中周延，就要求它在前提中周延，而大项在第二格中是大前提的主项，所以大前提必全称。

（2）证明第三格的特殊规则如下：

① 假设小前提是否定命题，则结论必否定，大项在结论中周延，那么大项在前提中也必须周延。而大项在第三格中是大前提的谓项，要使得大项周延，大前提必为否定命题，这样两个前提都是否定命题，违反规则，所以假设错误，第三格的小前提必是肯定命题。

② 由①证得小前提是肯定命题，小项在第三格中是小前提的谓项，所以小项在前提中不周延，那么小项在结论中不得周延，所以，第三格的结论必特称。

（3）证明第四格的特殊规则如下：

① 如果前提中有一个是否定命题，则结论必否定，大项在结论中周延，大项在前提中必须周延，而大项在第四格中是大前提的主项，所以大前提必须是全称命题。

② 如果大前提是肯定命题，由于中项在大前提中是谓项，所以中项在大前提中不周延，那么中项在小前提中必须周延，而中项在第四格中是小前提的主项，所以，小前提必须是全称命题。

③ 如果小前提是肯定命题，由于小项在第四格中是小前提的谓项，所以小项在前提中不周延，那么小项在结论中不得周延，所以，第四格的结论为特称命题。

④ 由①和②立即可得到。

⑤ 假设结论是全称肯定命题。那么两个前提都是肯定的。结论全称，小项在结论中周延，那么小项在前提中必须周延，而小项是小前提的谓项，这样小前提必为否定命题，矛盾，所以假设错误，第四格的结论不能是全称肯定命题。

二十一、证明题。

1. 证明：假设其小前提是否定命题，则结论必否定，大项在结论中周延，那么大项在前提中必周延，而已知大前提是特称命题，大项若要在大前提中周延则大前提只能是特称否定命题，这样两个前提都是否定的，违反规则，所以假设不成立，其小前提必须是肯定命题。又因为两个特称前提不能得结论，所以大前提只能是全称肯定命题。

2. 证明：根据规则“两个否定前提不能得结论”和“结论是否定的，前提中必有一个是否定的”和“结论全称，两个前提都是全称的”，可得前提之一是全称肯定命题，另一个是全称否定命题。

3. 证明：小前提否定，则结论否定，大项在结论中周延，所以大项在前提中周延。小前提否定，大前提必肯定，且大项在前提中周延，所以，大前提只能是全称肯定命题。

4. 证明：结论否定，前提中必有一个是否定的。根据第一格规则“小前提必肯定”，所以大前提必否定。根据第一格规则“大前提必全称”，所以可得大前提只能是全称否定命题。

5. 假设小前提是否定的，那么结论必否定，大项在结论中周延，就要求它在前提中周延，而第一格中大项是大前提的谓项，要使它周延，大前提必否定，这样两个否定前提，违反规则，所以假设错误，在第一格中，小前提必肯定。

6. 同二十、14.

7. 证明：若A与B均真，根据三段论可以推得D“所有精通数学的不精通逻辑”为真，D为E命题，E真，I（“有些精通数学的是精通逻辑的”必假，所以C必假。

8. 证明：若A与B皆为肯定命题，那么C必为肯定命题，则D必为否定命题，所以，A、B、D中肯定命题是两个。 若A与B中有一个是否定命题，那么C必为否定命题，则D必为肯定命题，所以，A、B、D中肯定命题是两个。 A与B不可能皆为否定。

总之，A、B、D中肯定命题是两个。

9. 证明：如果B为肯定命题，则D应为否定命题。此时若A亦为肯定命题，则C应为肯定命题，这样“D?A?C”就违反了规则“前提中有一个是否定的，结论必否定”。若A亦为否定命题，则C应为否定命题，这样“D?A?C”就违反了规则“两个否定前提不能得结论”。

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如果B为否定命题，则D应为肯定命题并且A只能是肯定命题，而C应为否定命题。这样“D?A?C”就违反了规则“结论否定，前提中必有一个是否定的”。

10. 是第四格的AAI式。推导过程如下：

由大项在结论中不周延可得结论为肯定命题，因而两个前提都是肯定命题。而大项在大前提中周延，所以大前提只能是PAM。M在大前提中不周延，就要求它在小前提中周延，而小前提是肯定命题，所以，小前提只能是MAS。这样，S在前提中不周延，在结论中不得周延，所以，结论是SIP。

11. 证明：设小前提是O命题的有效三段论或者是第一格、或者是第二格、或者是第三格、或者是第四格的三段论。 由小前提是O命题，根据规则可知大前提必是A命题，而结论必是O命题，此三段论为AOO式。 第一格的AOO式犯了“大项不当周延”的错误。 第三格的AOO式也犯了“大项不当周延”的错误。 第四格的AOO式犯了“中项不周延”的错误。 所以，它只能是第二格的三段论。

12. 证明：假设第四格三段论的大前提是O命题，即大前提为POM，P在大前提中不周延。而结论必为SOP，P在结论中周延，违反规则，所以假设错误，第四格三段论的大前提不能是O命题。

假设第四格三段论的小前提是O命题，即MOS，M在小前提中不周延，M在大前提中必须周延。而在第四格中M是大前提的谓项，要使它周延，大前提必为否定命题，这样两个否定前提，违反规则，所以假设错误，第四格三段论的小前提不能是O命题。

13. 证明：小项在结论中周延，所以，结论是全称命题，这样，两个前提必是全称命题。

小项在结论中周延，就要求它在前提中周延。而小项在第四格中是小前提的谓项，所以小前提是否定的，根据上述结论，所以，小前提是E命题。

小前提否定，结论必否定，所以，结论是E命题，且大项在结论中周延，就要求它在前提中周延。而大项在第四格中是大前提的主项，所以大前提必全称。因为小前提否定，所以大前提必肯定，因此，大前提是A命题。

所以，该三段论必为AEE式。

14. 证明：小前提否定，大前提必肯定，且结论否定。因此，大项在结论中周延，那么大项在前提中必周延，所以，大前提只能是全称肯定命题。

15. 证明：（1）和（3）运用三段论可推得（4）MOP；（2）和（4）运用充分条件假言推理可推得（5）SIP；运用换位法可得（6）PIS。因此同时肯定（1）（2）（3），即同时肯定PES和PIS，而这两者具有矛盾关系，因此违反了矛盾律。

16. 证明：由c)可得：d) S不与P全异，还可得：e） S不与P交叉。 a）与d)运用充分条件假言推理可得：f）P真包含于M（即PAM）。 b）与e)运用充分条件假言推理可得：g）S与M交叉（即SOM）。 f）与g）运用三段论可得：h）SOP。

SOP真有三种情况，即S真包含P，S与P交叉，S与P全异。又根据c)，可证：S真包含P。 17. 证明：若（3）真，则（1）（2）均真，违反已知，所以（3）必假，而（1）（2）为真。

（3）假，则或者A与C不全异（即有A是C），或者B与C不全异（有B是C）。与（1）（2）结合运用二难推理可推得：（4）或者A与B全同，或者A真包含于B，总之所有A是B。这样，可以形成以下二难推理：

如果A与C不全异，则根据三段论可得：所有A是B，有A是C，所以，有B是C。 如果B与C不全异，则有B是C。

或者A与C不全异，或者B与C不全异。 所以，有B是C。

18. 证明：由（2）可得（3）A与C不全异。

（1）和（3）根据充分条件假言推理，可得（4）A与B不全异。

（4）A与B不全异，即（5）“有些A是B”。（2）A真包含于C，即（6）“所有的A是C”。（5）和（6）根据三段论可推得：有些B是C，所以，概念B不与C全异。

19. 已知：

（1）A?B?C P

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