充分性：设A、B、C两两相互独立,且A与BC独立. 于是有
P(AB)?P(A)P(B)P(BC)?P(B)P(C)P(AC)?P(A)P(C)P(ABC)?P(A)P(BC)?P(A)P(B)P(C)
由定义知A、B、C相互独立，从而充分性成立。
3.设A、B独立，AB?D，AB?D，证明：P(AD)?P(A)P(D). 证明：因为AB?D，AB?D，D?A?B
AD?AB?DB
P(AD)?P(AB)?P(DB)而P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(DB)
P(DB)?P(A)P(DB)
?P(AD)?P(AB)?P(DB) ?P(A)P(B)?P(DB) ?P(A)P(DB)?P(A)P(DB)
?P(A)[P(DB)?P(DB)]?P(A)P(D)
于是 P(AD)?P(A)P(D)
4.从5双不同的鞋子中任取4只，求取得的4只鞋子中至少有2只配成一双的概率.
解法一 设A表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”
A表示“4只鞋子均不成双”
4样本点的总数为P10，
A的样本点为10?8?6?4（因为第一只鞋子是从5双中选一只有10种选法，
第二只鞋子是从4双中选一只有8种选法，第三只鞋子是从3双中选一只有6种选法，第四只鞋子是从2双中选一只有4种选法）
25
P(A)?1?P(A)?1?10?8?6?413?
10?9?8?7214解法二 样本点的总数为C10，
4A的样本点为C5?24（因为从5双中任选4双，再从每双中任意取一只）
C54?2413P(A)?1?P(A)?1?? 421C105.4张卡片标着1到4，面朝下放在桌子上，一个自称有透视能力的人将用他超感觉的能力说出卡上的号码，如果他是冒充者而只是随机地猜一下，他至少猜中一个的概率p是多少？
解：A表示“至少猜中一个’
A表示“4个全部猜错” P(A)?1?P(A)?1?3?3?15? 4！86.一袋中装有N?1只黑球1只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第k次摸球时，摸到黑球的概率是多少？
解：设A表示“第k次摸球时，摸到黑球”
A表示第k次摸球时，摸到白球”
因为袋中只有一只白球，而每次摸到白球时换入一只黑球放入，故为了第k次摸到白球，则前k?1次一定摸到的是黑球
(N?1)k?1?1?1?故P(A)??1???NNk??k?11 Nk?11??于是所求概率为P(A)?1?P(A)?1??1???N?1 N7.设B、C分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求方程
x2?Bx?C?0有实根的概率p和有重根的概率q.
解：一枚骰子接连掷两次，样本点总数为36，方程组有实数根的充分必要条
B2件为B?4C即C?
42注意到
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B B2使C?的样本点个数 4B2使C?的样本点个数 41 2 3 4 5 6 0 1 2 4 6 6 0 1 0 1 0 0 由此可见，方程x2?Bx?C?0有实根的概率p?方程x2?Bx?C?0有重根的概率为q?1 1819 368.随机地向半圆0?y?2ax?x2（a为正常数）内扔一个点，点落在半圆内任何区域内的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于
?的概率. 4（x,y)应该落在如图的阴影部解：以D表示半圆0?y?2ax?x2，由题设，点
分G，G的面积为（在极坐标系中计算）
?S(G)??4d??02acos?0?1rdr??4?r20?2?2?2acos?0??d? ???2a2?40cos?d??a2?40??1?(1?cos2?)d?????a2
?42?1个圆的面积） 4（或G的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上
y D G x
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??1?2???aS(G)?42?11??? 故P(A)?12S(D)2??a29.设0?P(A)?1，0?P(B)?1，证明：A、B独立?P(A|B)?P(A|B)?1. 证明：P(A|B)?P(A|B)?1?P(A|B)?1?P(A|B)?P(AB)
?P(AB)P(AB)??P(AB)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB) P(B)1?P(B)?P(AB)?P(B)[P(AB)?P(AB)]?P(B)P(A)?A、B独立
10.设第一只盒子中装有3只兰球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只兰球，3只绿球，4只白球，独立地分别在两只盒子中各取一只球.
(1)求至少有一只兰球的概率； (2)球有一只兰球一只白球的概率；
(3)已知至少有一只兰球，求有一只半求一只白球的概率. 解：设Ai={从第i只盒子中取得一只白球}i?1,2
Bi={从第i只盒子中取得一只蓝球}i?1,2 由题设在不同盒子则取球是相互独立的 （1）所求的概率为
P(B1?B2)?P(B1)?P(B2)?P(B1B2) ?P(B1)?P(B2)?P(B1)P(B2)
?32325???? 79799（2）因为B1B2??，则(B1A2)(B2A1)?? 所求的概率为
P(B1A2?B2A1)?P(B1A2)?P(B2A1) ?P(B1)P(A2)?P(B2)P(A1)
?342216???? 79976328