南京师大附中2015届高三模拟考试试卷

数 学 2015.05

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1．若集合A?{a},B?{0,a2},A?B,则集合A? ． 2．设复数z?1?i（i为虚数单位），若1，

1对应的向量分别为OA和OB，则向量AB的模为 ． z3．在平面直角坐标系xOy中，已知P点的横坐标与纵坐标都是集合A?{?1,0,1,2}中的任意元素，则P点正好落在抛物线y?x2?1上的概率为 ．

4．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4,5)上的数据的 频数为 ． ．．

5．右图是一个算法的流程图，则输出的n的值为 ． 6．不等式

1?2 的解集是 ． x开始 n←1，S←0 S<100 是 S←S+2n n←n+2 否 输出n 结束 7．在平面直角坐标系xOy中，设m为实数，若双曲线x2?my2?1的焦点到渐

近线的距离为2，则m的值是 ．

8．一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6 cm时，该容器的容积为 cm3． 9．设?an?是首项为1的等比数列，Sn是?an?的前n项和，满足9S3?S6，

?1?则数列??的前5项和为 ．

?an?10．已知函数f(x)?2sin(?x??),(??0,0???2?)的部分图像如图所示，

则f(?)的值为 ．

11．设函数f?x?是定义在实数集R上的奇函数，且 y?f?x?的图象关于直线

1对称，则f?1??f?2??f?3??f?4??f?5?的值为 ． 2212．在平面直角坐标系xOy中，若点P在曲线上y?x运动，点Q在 x?圆A:(x?2)?(y?1)?1运动，则OA?PQ的最大值为 ．

13．设G为非空集合，对于给定的运算?，若满足：（1）对任意a、b?G，都有a?b?G；（2）存在e?G，使得对一切a?G，都有a?e?e?a?a，则称集合G关于运算?为“融洽集”．现给出下列集合和运算：

①集合G?{非负整数}，运算?为整数的加法；

- 1 -

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②集合G?{平面向量}，运算?为平面向量的加法； ③集合G?{二次三项式}，运算?为多项式的加法； ④集合G?{虚数}，运算?为复数的乘法．

其中集合G关于运算?为“融洽集”的是 ．（写出其中所有“融洽集”的序号） 14．在平面直角坐标系xOy中，设a为实数，曲线y??ax?1?ex在x?m处的切线为l1，曲线y?处的切线为l2．若存在m?[0,]，使得l1?l2，则a的取值范围是 ．

二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演．．．．．．．．

算步骤．

15. 如图，在四边形ABEF中，AF?FB，O为AB的中点，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面ABEF． (1) 求证：AF?平面CBF；

(2) 设FC的中点为M，求证：OM //平面DAF．

C

1?x在x?mxe32

D

16．（本小题满分14分）

A B O M E F

在△ABC中，角A、B、C的对边长分别是a、b、c，已知3cos2C?10cos(A?B)?1?0．

(1)求cosC的值；

23

(2)若c＝1，cosA＋cosB＝，求a的值．

3

- 2 -

17．（本小题满分14分）

某集团公司为鼓励下属企业创业，拟对年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y (单位：万元) 随年产值x (单位：万元) 的增加而增加，但奖金不低于7万元，且不超过年产值的15%．

（1）若某企业年产值100万元，核定可得9万元奖金．试分析函数y＝lgx?kx?5 (k为常数) 是否为符合集团要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg2?0.3,lg5?0.7）； （2）设a为正整数，若采用函数f(x)?

18．（本小题满分16分）

15x?a作为奖励函数模型，试求a的最小值． x?8x2y2在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为e．直

ab线l：y?ex?a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，点P是点F1关于直线l的对称点．若AM??AB． （1）求证：??1?e； （2）若??23，MF1F2的周长为6，求a、b的值； 4（3）确定?的值，使得PF1F2是等腰三角形．

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19．（本小题满分16分）

设a为实数，若函数f (x)=(x－1)ex－ax2，（x?R）． （1）当a＝0时，求函数 f (x) 的单调区间； （2）求函数 f (x) 的极值；

（3）当a∈(0,1] 时，若函数 f (x) 在区间[0,a]上的最大值为M(a)，求M(a) ．

20．（本小题满分16分）

设实数a、b中至少有一个非零，已知无穷项数列{an}满足a1=5，且an?1?a?an?（1）若ab?0，求数列{an}的前n项和Sn；

（2）若a?b?1，是否存在整数m，使得0?a1001?m?0.1成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

b*（n?N）． an- 4 -