第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

(本课对应学生用书第5-6页)

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1. 全称量词

我们把表示全体的量词称为全称量词.

对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词,用符号“?”表示.

含有全称量词的命题,叫作全称命题.“对任意实数x∈M,都有p(x)成立”简记成“?x∈M,p(x)”.

2. 存在量词

我们把表示部分的量词称为存在量词.

对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词,用符号“?”表示.

含有存在量词的命题,叫作存在性命题.“存在实数x0∈M,使p(x0)成立”简记成“?x0∈M,p(x0)”.

3. 简单逻辑联结词有或(符号为∨),且(符号为∧),非(符号为?).

4. 命题的否定:“?x∈M,p(x)”与“?x0∈M,?p(x0)”互为否定.

5. 复合命题的真假:对p且q而言,当p,q均为真时,其为真;当p,q中至少有一个为假时,其为假.对p或q而言,当p,q均为假时,其为假;当p,q中有一个为真时,其为真;当p为真时,?p为假;当p为假时, ?p为真.

6. 常见词语的否定如下表所示: 词语 是 一定是 都是 大于 小于 词语的否定 词语 词语的否定

不是 且 不一定是 不都是 小于或等于 至多有一个 至少有两个 大于或等于 必有一个 一个也没有 至少有n个 所有x成立 或 至多有n-1个 存在一个x不成立

1. (选修1-1P15例1(4)改编)若命题p:?x∈R,x2+x+1=0,则?p为 . [答案]?x∈R,x2+x+1≠0

2. (选修1-1P17习题2(1)改编)“?x∈R,2x2-3x+4>0”的否定为 . [答案]?x∈R,2x2-3x+4≤0

a2

3. (选修1-1P17习题2(4)改编)命题“对于函数f(x)=x+x(a∈R),对任意的a∈R,使得f(x)

是偶函数”是 命题.(填“真”或“假”) [答案]假

a4. (选修1-1P17习题2(4)改编)命题“对于函数f(x)=x2+x(a∈R),存在a∈R,使得f(x)是

偶函数”是 命题.(填“真”或“假”) [答案]真

[解析]当a=0时,函数f(x)是偶函数.

5. (选修1-1P20习题3改编)已知命题p“?x∈R,sinx+cosx>m”是真命题,那么实数m的取值范围是 . [答案](-∞,-2) π??x???4?∈[-2,2],所以m<-2. [解析]?x∈R,sinx+cosx=2sin?