2012年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）

数 学

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、在锐角?ABC中，已知A＞B＞C,则cosB的取值范围为（ ）

(A) ?0,???2? (B) ??2??12? (C) ?0,1? (D) ??,??22??2???2,1?? ??2、红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋

子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ） (A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种 3、正四棱锥S?ABCD中，侧棱与底面所成角为?，侧面与底面所成二面角为?，侧棱SB与底

面正方形ABCD的对角线AC所成角为?，相邻两侧面所成二面角为?， 则?,?,?,?之间的大小关系是（ ） (A)

?＜?＜?＜? (B) ?＜?＜?＜? (C) ?＜?＜?＜? (D) ?＜?＜?＜?

4、向量a?e，e?1。若?t?R，a?te?a?e则（ ）

(A) a?e (B) a?(a?e) (C) e?(a?e) (D) (a?e)?(a?e)

5、若复数

w?11的实部为0，Z是复平面上对应的点，则点Z?x,y?的轨迹是( ) w?11?w22(A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧

6、椭圆长轴长为4，左顶点在圆(x?4)??y?1??4上，左准线为y轴，则此椭圆离心率的取

值范围是（ ）

(A) ?,? (B) ?,? (C) ?,? (D) ?,??84??42??82??24?

7、已知三棱锥S?ABC的底面ABC为正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是?SBC的垂心，二面角H?AB?C为30°，且SA?2，则此三棱锥的体积为（ ）

?11??11??11??13? 1

(A)

3313 (B) (C) (D)

24248、如图，在锐角?ABC中，BE?AC于E，CD?AB于D,，BC?25，CE?7，BD?15，

CD交于H，连接DE，以DE为直径画圆，与AC交于另一点F，则AF的长为（ ）

(A) 8 (B) 9 (C)10 (D) 11

9、已知数列?an?的通项公式为an?lg(1?2)，n?1,2,???。Sn是数列的前n项和。则

n2?3nlimSn?（ ）

n??(A) 0 (B) lg3 (C) lg310 (D)

10101 3

10、已知?6?xi?10(i?1,2,???10),?xi?1i?50，当?xi2取得最大值时，在x1,x2,???x10这10

i?1个数中等于?6的数共有（ ）

(A) 1个 (B) 2个 (C)3个 (D) 4个

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。每小题14分，共70分 11、在?ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c。已知2sin2① 求C的大小

② 若c?2b?2a，求cos2A?cos2B的值

12、已知两点A??2,0?,B?2,0?，动点P在y轴上的射影是H，且PA?PB?2PH

① 求动点P的轨迹C的方程

2A?B?1?cos2C 2222 2

② 已知过点B的直线交曲线C于x轴下方不同的两点M,N，设MN的中点为R，过R与

点Q?0,?2?作直线RQ，求直线RQ斜率的取值范围。

1)，各个元件正常工作的事件相互独立，如果13、系统中每个元件正常工作的概率都是p(0＜p＜系统中有多于一半的元件正常工作，则系统就能正常工作。系统正常工作的概率称为系统的可靠性。

（1） 某系统配置有2k?1个元件，k为正整数，求该系统正常工作概率的表达式

（2） 现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后，能否提高

系统的可靠性。

x2x3xn??...?,n?1,2,3,...证明：14、记函数fn(x)?1?x?当n是偶数时，方程fn(x)?0没2!3!n!有实根；当n是奇数时，方程fn(x)?0有唯一的实根xn且xn?2?xn

，

15、某乒乓球培训班共有n位学员（n?4），在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛。试确定n的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。

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2012年华约数学参考答案

(详细解答参见另一个PDF文件)

一、选择题

1-5 ACBCA 6-10 BDBBC

二、解答题

11解：（1）C=2/3∏；（2）cos2A?cos2B=3/4 12解：

AP?BP?2PH2（1）设P(x,y),则H(0，y),由得（x?2,y）?(x-2,y)?2x2,即y2-x2?4

（2）令CD:x?my?2(m?0)代入y?x?4，整理得

22(1?m2)y2?4my?8?0

因为直线在x轴下方交P点轨迹于C(x1,y1)，D(x2,y2)两点所以上式有两个负根，由

?1?m2?0?22???16m?32(1?m)?0??y1?y2?4m20?1?m?2

1?m???8?0?y1y2?21?m?根据韦达定理，得CD中点M的坐标为

M(x1?x2y1?y222m,)?(,) 22221?m1?m代入直线MQ的方程y+2=kx,(k为其斜率)得

2m2k?2?

1?m21?m2所以，k=?m?m?1??(m?)?13解答：显然PK?21225?(2?1,1),(1?m?2). 4?Cn?0K?1n2k?1(1?p)np2k?1?n,

nnn?1n?2注意到C2k?1?C2k?1?2C2k?1?C2k?1，

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