九年级反比例函数专题 下载本文

反比例函数专题

考点一 反比例函数的定义

k-1一般地,函数y=或y=kxkx-1(k是常数,k≠0)叫做反比例函数.

x

kk

1.反比例函数y=中的是一个分式,所以自变量x≠0,函数与x轴、y轴无交点.

xx2.反比例函数解析式可以写成xy=k(k≠0),它表明在反比例函

数中自变量x与其对应函数值y之积,总等于已知常数k.

考点二 反比例函数的图象和性质

k

反比例函数y=(k≠0)的图象总是关于原点对称的, 它的位

x

置和性质受k的符号的影响.

(1)k>0?图象(双曲线)的两个分支分别在一、三象限,如图①所示.图象自左向右是下降的?当x<0或x>0时,y随x的增大而减小(或y随x的减小而增大).

(2)k<0?图象(双曲线)的两个分支分别在二、四象限,如图②所示.图象自左向右是上升的?当x<0或x>0时,y随x的增大而增大(或y随x的减小而减小).

考点三 反比例函数解析式的确定

由于反比例函数的关系式中只有一个未知数,因此只需已知一组对应值就可以. 待定系数法求解析式的步骤:

①设出含有待定系数的函数解析式;

②把已知条件代入解析式,得到关于待定系数的方程; ③解方程求出待定系数.

考点四 反比例函数中比例系数K的几何意义

kk

反比例函数y=(k≠0)中k的几何意义:双曲线y=(k≠0)上任

xx

意一点向两坐标轴作垂线,两垂线与坐标轴围成的矩形面积为

|k|. 理由:如图①和②,过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PA、PB所得的矩形PAOB的面积S=PA·PBk=|y|·|x|=|xy|;∵y=,∴xy=k,∴S=|k|,即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得的矩形面积

x11

均为|k|,同理可得S△OPA=S△AOB=|xy|=|k|. 22

考点五 反比例函数的应用

解决反比例函数的实际问题时,先确定函数解析式,再利用图象找出解决问题的方案,特别注意自变量的取值范围.

复习巩固:

k

1、(2010·桂林)若反比例函数y=的图象经过点(-3,2),则k的值为( )

xA.-6 B.6 C.-5 D.5

k

2、下列四个点中,有三个点在同一反比例函数y=的图象上,则不在这个函数图象上的点是( )

x工人路校区67003960 兴华街小区68877776 文化路校区 63611158 桐柏路校区67770660 1

55

A.(5,1) B.(-1,5) C.(,3) D.(-3,-)

331

3、(2010·宁波)已知反比例函数y=,下列结论不正确的是( )

x

A.图象经过点(1,1) B.图象在第一、三象限

C.当x>1时,0

k-1

的图象在每条曲线上,y随x的增大而减小,则k的值可为( ) x

A.-1 B.0 C.1 D.2

1

5、反比例函数y=(x>0)的图象如图所示,随着x值的增大,y值( )

x

A.增大 B.减小 C.不变 D.先减小后增大 6、 (2010·兰州)已知点(-1,y1)、(2,y2)、(3,y3)在反比例函数y=

-k2-1

的图象上.下列结论中正确x

的是( )

A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1 k

7.如图,正方形ABOC的边长为2,反比例函数y=过点A,

x则k的值是( )

A.2 B.-2 C.4 D.-4 8、(2010·天津)已知反比例函数y=

k-1

(k为常数,k≠1). x

①若点A(1,2)在这个函数的图象上,求k的值;

②若在这个函数图象的每一支上,y随x的增大而减小,求k的取值范围; ③若k=13,试判断点B(3,4),C(2,5)是否在这个函数的图象上,并说明理由.

典例分析:

k

例1、(2010·眉山)如图,已知双曲线y=(k<0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB

x相交于点C.若点A的坐标为(-6,4),则△AOC的面积为( ) A.12 B.9 C.6 D.4

3

例2、如图,在直角坐标系中,点A是x轴正半轴上的一个定点,点B是双曲线y=(x>0)上的一个动点,

x当点B的横坐标逐渐增大时,△OAB的面积将会( )

A.逐渐增大 B.不变

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C.逐渐减小 D.先增大后减小

例3、如图,已知直线y=ax+b经过点A(0,-3),与x轴交于点C,且与双曲线相交于点B(-4,-a)、点D.

(1)求直线和双曲线的函数关系式;(2)求△CDO(其中O为原点)的面积.

k

例4、(2010·成都)如图,已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A(1,-k

x+4).

①试确定这两个函数的表达式;

②求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标,并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.

中考真题:

1、(2010·玉溪)如图所示的计算程序中,y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是( )

A.第一象限 B.第一、三象限C.第二、四象限 D.第一、四象限 2、.(2009中考变式题)反比例函数y=(2m-1)xm2-2,当x>0时,y随x的增大而增大,则m的值是( )

1

A.±1 B.小于的实数 C.-1 D.1

2

6

3、.(2010·台州)反比例函数y=图象上有三个点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3),其中x1

x

y2、y3的大小关系是( ) A.y1

a

4、(2010·青岛)函数y=ax-a与y=(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )

x

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2

5、(2011中考预测题)如图所示,是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象,则关于x的方程kx+b

x

2

=的解为( ) x

A.x1=1,x2=2 B.x1=-2,x2=-1 C.x1=1,x2=-2 D.x1=2,x2=1

6、(2010·山西)如图,A是反比例函数图象上一点,过点A作AB垂直y轴于点B,点P在x轴上,△ABP的面积为2,则这个反比例函数的解析式为________.

4

7、(2009中考变式题)函数y1=x(x≥0),y2=(x>0)的图象如图所示,则下列结论:

x

①两函数图象的交点A的坐标为(2,2); ②当x>2时,y2>y1; ③当x=1时,BC=3;

④当x逐渐增大时,y1随着x的增大而增大,y2随着x的增大而减小. 其中正确的序号是________.

6

8、(2010·泉州)已知点A在双曲线y=上,且OA=4,过A作AC垂直x轴于C,

x

OA的垂直平分线交OC于B.

(1)△AOC的面积=______; (2)△ABC的周长为______.

1k

9、(2010·济宁)如图,正比例函数y=x的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A点,过

2x

A点作x轴的垂线,垂足为M,已知△OAM的面积为1.

(1)求反比例函数的解析式;

(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且B点的横坐标为1,在x轴上求一点P,使PA+PB最小.

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