3．4.2 基本不等式的应用

1．如果用x，y来分别表示矩形的长和宽，用l来表示矩形的周长，S来表示矩形的面积，则l＝2(x＋y)，S＝xy．

2．在上题中，若面积S为定值，则由x＋y≥2xy，可知周长有最小值，为4S． 3．在第1题中，若周长l为定值，则由xy≤

x＋y2

2

，可知面积S有最大值，为．

16

2

2

l2

?a＋b?．

4．基本不等式a＋b≥2ab(a，b∈R)的变形有a＋b≥2ab和ab≤???2?＋

5．常用的几个不等式有：

ab2a＋b＋≥2，≤ab≤≤ ba112＋ab

?基础巩固 一、选择题

1．若x＞4，则函数y＝x＋A．有最大值－6 B．有最小值6 C．有最大值2 D．没有最小值 解析：y＝x－4＋＝5时取得最小值6.

1

＋4≥2x－4

a2＋b2

2

(a，b∈R)．,

＋

1

(B) x－4

（x－4）·

11＋4＝6.当且仅当x－4＝时，即xx－4x－4

2．设a、b为实数，且a＋b＝3，则2＋2的最小值为(B) A．6 B．42 C．22 D．8 解析：2＋2≥22

aba＋bab＝22＝42.

3

3．已知x，y是正数，且xy＝4，则A．1 B．2 C．22 D.2

yx＋取得最小值时，x的值是(B) xy

解析：

yx＋≥2xyxy≥24＝22，此时

4

yx＝，即x＝y＝2. xy4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则(A) A．a＜v＜ab B．v＝ab C.ab＜v＜D．v＝

a＋b2

a＋b2

2aba＋b2ab2ab，∵a＜b，∴ab＜?＞

ssa＋b2a＋b2b＋

＝2s解析：设甲地到乙地距离为s，则v＝

ab＝a，

2ab＜ab. a＋b1a＋b5．若a＞b＞1，P＝lg a·lg b，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则(B)

22A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q

解析：∵a＞b＞1，∴lg a＞0，lg b＞0. 由基本不等式易得P＜Q，而Q＝lg ab＜lg 二、填空题

11xy6．已知x＞0，y＞0，lg 2＋lg 8＝lg 2，则＋的最小值是________．

x3y解析：由x＞0，y＞0，lg 2＋lg 8＝lg 2得2＋

xyx＋3ya＋b2

＝R，故P＜Q＜R.

11x＋3y＝2，即x＋3y＝1，∴＋＝

x3yxx＋3y3yx＝2＋＋≥2＋23yx3y答案：4

3yx·＝4，当且仅当x＝3y时取等号． x3y7．已知x＞0，y＞0，3x＋4y＝5，2xy的最大值为________． 11?3x＋4y?212525

解析：2xy＝×3x×4y≤??＝×＝.

66?2?642425

答案： 24

1??8．不等式y＝x(1－3x)?0＜x＜?的最大值是________． 3??

111?3x＋（1－3x）?21

解析：∵0＜x＜，∴1－3x＞0.∴x(1－3x)＝(3x)(1－3x)≤??＝3×

2333??11

＝. 412

1

答案：

12三、解答题

5x－4x＋5

9．已知x≥，求f(x)＝的最小值．

2x－2

5x－4x＋5（x－2）＋11

解析：∵x≥，∴x－2＞0.∴f(x)＝＝＝(x－2)＋≥2.当且

2x－2x－2x－2仅当x－2＝

1

，即x＝3时，等号成立．故当x＝3时，f(x)min＝2. x－2

2

2

2

10．过点P(1，2)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△ABO的面积最小时，求直线l的方程．

解析：设A(a，0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，则l的方程为＋＝1，又∵l过P点，121∴＋＝1，三角形的面积S＝ab. ab2

12

由＋＝1?ab＝b＋2a≥22ab?ab≥8，当且仅当b＝2a，即a＝2，b＝4时，Smin＝4.

xyabab∴l的方程为＋＝1，即2x＋y－4＝0.

24?能力升级 一、选择题

11．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(4，y)．若a⊥b，则9＋3的最小值为(C) A．23 B．12 C．6 D．32

解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，∴9＋3≥29·3＝23

2x＋yxyxyxyxy＝6.当且仅当2x＝y＝1时取等号，∴最小值为6.

12．已知M是定值，下列各条件中，ab没有最大值的条件是(D) A．a＋b＝M

B．a，b∈R，且a＋b＝M C．a＜0，b＜0，且a＋b＝M D．a·b＜0，a＋b＝M

＋

2

2

?a＋b?及ab≤a＋b对任何实数a、b都成立，且a＝b时，等号成立，

解析：由ab≤??2?2?

可知A、B、C三项均有最大值．但D项中不存在等号成立的条件，故D项没有最大值．

2

22

?1a?13．已知不等式(x＋y)?＋?≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为

xy?

?

(B)

A．2 B．4 C．6 D．8

axy?1a?22

解析：(x＋y)?＋?＝1＋＋＋a≥1＋2a＋a＝(1＋a).由(1＋a)＝9，解得a?xy?

yx＝4.

二、填空题

14．设x，y为实数，若4x＋y＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．

33?2x＋y?2222

解析：∵4x＋y＋xy＝1，∴(2x＋y)＝1＋3xy，即(2x＋y)＝1＋·2x·y≤1＋·??22?2?2，

82102102

解得(2x＋y)≤，即－≤2x＋y≤.

555210

答案：

5

15．设a≥0，b≥0，a＋＝1，则a1＋b的最大值为________．

2解析：由a＋＝1得2a＋b＝2，

2

22（2a）＋1＋b32

a1＋b＝·2a·1＋b2≤·＝.

2224

2

2

2

2

2

2

2

b2

2

b2

22

12322

当且仅当2a＝1＋b?b＝，a＝时取等号．

2432

答案：

4三、解答题

1?x1＋x2?的大小，

16．已知f(x)＝lg x(x∈R＋)，若x1，x2∈R＋，判断[f(x1)＋f(x2)]与f??2?2?并加以证明．

1?x1＋x2?.下面给出证明： 解析：[f(x1)＋f(x2)]≤f??2?2?∵f(x1)＋f(x2)＝lg x1＋lg x2＝lg(x1x2)，