5-13 试根据奈氏判据，判断题5-13图(1)～(10)所示曲线对应闭环系统的稳定性。已知曲线(1)～(10)对应的开环传递函数分别为（按自左至右顺序）。

解 题5-13计算结果列表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 开环传递函数 Z? P?2NP 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 N -1 0 -1 0 -1 0 0 1/2 0 -1/2 闭环 稳定性 不稳定 稳定 不稳定 稳定 不稳定 稳定 稳定 稳定 不稳定 不稳定 备注 K (T1s?1)(T2s?1)(T3s?1)KG(s)? s(T1s?1)(T2s?1)KG(s)?2 s(Ts?1)K(Ts?1)G(s)?21(T1?T2) s(T2s?1)KG(s)?3 sK(T1s?1)(T2s?1)G(s)? s3K(T5s?1)(T6s?1)G(s)? s(T1s?1)(T2s?1)(T3s?1)(T4s?1)KG(s)?(K?1) T1s?1KG(s)?(K?1) T1s?1KG(s)? s(Ts?1)G(s)?2 0 2 0 2 0 0 0 1 2 89

5-14 已知系统开环传递函数，试根据奈氏判据，确定其闭环稳定的条件： G(s)?K； K,T?0

s(Ts?1)(s?1)（1）T?2时，K值的范围； （2）K?10时，T值的范围； （3）K,T值的范围。

K?K(1?T)??j(1?T?2) 解 G(j?)???X(?)?Y(?) 222j?(1?j?)(1?jT?)?(1??)(1?T?)1令 Y(?)?0，解出??，代入X(?)表达式并令其绝对值小于1

T1KT?1 X()?1?TT1?T1得出： 0?K? 或 0?T?

TK?13（1）T?2时，0?K?；

21（2）K?10时，0?T?；

9（3）K,T值的范围如图解5-14中阴影部分所示。

5-15 已知系统开环传递函数

??10(s2?2s?5) G(s)?

(s?2)(s?0.5)试概略绘制幅相特性曲线，并根据奈氏判据判定闭环系统的稳定性。

解 作出系统开环零极点分布图如图解5-15（a）所示。G(j?)的起点、终点为：

G(j0)?50?180? G(j?)?10?0?

10(5??2?j2?)G(j?)?(2?j?)(?0.5?j?)22G(j?)与实轴的交点：

?10??(5??)(1??)?3??j?(?5.5?3.5?)?(1??2)2?(1.5?)222

令Im?G(j?)??0 可解出

?0?5.5/3.5?1.254

90

代入实部 Re?G(j?0)???4.037

概略绘制幅相特性曲线如图解5-15（b）所示。根据奈氏判据有

Z?P?2N?1?2(?1)?2 2所以闭环系统不稳定。

5-16 某系统的结构图和开环幅相曲线如题5-16图(a)、(b)所示。图中

1 G(s)?s(1?s)2,s3H(s)?

(s?1)2试判断闭环系统稳定性，并决定闭环特征方程正实部根个数。

解 内回路开环传递函数: G0(s)?G(s)H(s)?s

(s?1)42

G(j0)?0?0 G(j0)?0?180

?0G(j?)?0??1800大致画出G0(j?)的幅相曲线如图解5-16所示。可见G0(j?)不会包围（-1,j0）点。 ? Z0?P0?2N0?0?2?0?0

即内回路小闭环一定稳定。内回路小闭环极点（即开环极点）在右半S平面的个数为0。 P?Z0?0

由题5-16图(b)看出:系统开环频率特性包围（-1,j0）点的圈数 N=-1。根据劳斯判据

Z?P?2N?Z1?2N?0?2?(?1)?2

系统不稳定，有两个闭环极点在右半S平面。

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5-17 已知系统开环传递函数

G(s)?10

s(0.2s2?0.8s?1)试根据奈氏判据确定闭环系统的稳定性。

解 作出系统开环零极点分布图如图解5-17(a)所示。

1010[0.8??j(1?0.2?2)] G(j?)? ?22j?(1?j0.2?)(1?j?)?(1??)(1?0.04?)G(j?)的起点、终点为：

G(j0)????180? G(j0?)????270? G(j?)?0??270? limRe[G(j?)]??8

??0幅相特性曲线G(j?)与负实轴无交点。由于惯性环节的时间常数T1?0.2，小于不稳定惯性环节的时间常数T2?1，故?(?)呈现先增大后减小的变化趋势。绘出幅相特性曲线如图解5-17(b)所示。根据奈氏判据 Z?P?2N?1?2?(表明闭环系统不稳定。

?1)?2 2

5-18 已知单位反馈系统的开环传递函数，试判断闭环系统的稳定性。 G(s)?10 2ss(s?1)(?1)4解 作出系统开环零极点分布图如图解5-18(a)所示。当??0??变化时，G(j?)的变化趋势：

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