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1?n?4n?4?(n?7)?2?2?,(n?7)??2Tn??
?(n?7)?2n?4?2n?4?31,(n?8)?2?【解析】 【分析】
(1)由已知得bn?1?bn?log2an?1?log2an?log2an?1,可得出数列?bn?为等差数列，求得其an公差，可得数列?bn?的通项公式，及Sn，再由对数的运算可得数列?an?的通项公式;
(2)由（1）得cn?Sn1an??(n?7)?2n?4?|(n?7)?2n?5|,根据错位相减法求得数列n2cn??(n?7)?2n?5的前n项和，再分当n?7时和当n?8时分别求得.
【详解】
*(1)对n?n,bn?log2an,bn?1?log2an?1,则bn?1?bn?log2an?1?log2an?log2an?1,因为anan?1a?an?为等比数列,则a为定值.则log2an?1为定值,则数列?bn?为等差数列.
nnb4?log2a4?log21?0,b5?1,
则bn?n?4,n?n,an?2(2)cn?*an?2n?4,n?n*,Sn?1?(n?7)?n,n?n*; 2Sn1an??(n?7)?2n?4?|(n?7)?2n?5|, n2设cn??(n?7)?2n?5,Tn?为数列cn?的前n项和,则有:
??Tn??(?6)?2?4?(?5)?2?3?(?4)?2?2?L?(n?7)?2n?5,(*) 2Tn??(?6)?2?3?(?5)?2?2?(?4)?2?1?L?(n?7)?2n?4,(**)
(*)式?(**)式,得:
?Tn??(?6)?2??2?2?L?2?4?3?2n?5??(n?7)?2n?4?(?6)?2??42?3??1?2n?1?1?2?(n?7)?2n?4答案第15页，总19页
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,Tn??(n?7)?2n?41?2n?4?.
2n?41; 2131n?4n?44n?4n?4, 当n?8时,Tn?Tn??2T7??(n?7)?2?2??2?1?(n?7)?2?2?22当n?7时,Tn??Tn???(n?7)?2?2n?4?1?n?4n?4?(n?7)?2?2?,(n?7)??2 即Tn???(n?7)?2n?4?2n?4?31,(n?8)?2?【点睛】
本题考查等差数列，等比数列的通项公式，前n项和的求解方法，以及运用错位相减法求数列的和，属于中档题. 21．（1）【解析】 【分析】
（1）设过焦点的直线为x?ty?1；（2）(??,0) 2p,(t?0),联立抛物线方程得:y2?2pty?p2?0，求得2|AB|?1?t2(2pt)2?4p2?2?t2?1?p,直线MN的方程为
|FN|p??y?pt??t?x?pt2??，求得|FN|?p?t2?1，可求得的值.
|AB|2????（2）当p?2时,设A?x1,y1?,B?x2,y2?,由(1)得出根与系数的关系y1?y2?4t,y1y2??4，
222再求得x1?x2?4t?2,x1x2?1.得出点M2t?1,2t，点N2t?3,0，根据向量的数2uuuruuuruuuruuur1??2量积运算得NA?NB??4?t???1,可求得NA?NB的取值范围.
2??????【详解】
?y2?2pxp?（1）由题意,设过焦点的直线为x?ty?,(t?0),联立抛物线方程?p,得:
2?x?ty?2?y2?2pty?p2?0，
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则|AB|?1?t2(2pt)2?4p2?2t2?1p, 则yM?pt,xM?pt?2??p?p3p?22,则直线MN为y?pt??t?x?pt??，得xN?pt?,
2?22?则|FN|?pt?23pp??pt2?p?p??t2?1?. 22|FN|1?. 则
|AB|2（2）当p?2时,设A?x1,y1?,B?x2,y2?,由(1),据韦达定理知y1?y2?4t,y1y2??4.
22所以x1?x2?4t?2,x1x2?1.故M2t?1,2t，
22则由抛物线的定义可得:|AB|?x1?x2?p?4t?4.则|FN|?2t?2,故点N2t?3,0
???2?uuuruuurNA?NB??x1?xN???x2?xN???y1?yN???y1?yN??x1x2?xN?x1?x2??xN2?y1y2 1???1??2t2?3???4t2?2???2t2?3??4??4?t2???1,
2??22uuuruuur1??因为t?0,?4?t2???1?(??,0)，所以NA?NB?(??,0).
2??2
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于设出直线的方程与抛物线的方程联立，得出交点的坐标的韦达定理，将目标条件转化到交点的坐标的韦达定理上去，属于中档题. 22．（1）答案见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）分a??2及a??2时，验证即可；
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（2）构造函数h(x)??f(?x)，F(x)?h(x)?f(x)??f(?x)?f(x)，分析其单调性，并结合数形结合得证． 【详解】 （1）f?(x)?x?a11a??x?1???1. 2x?1x?12当a??2时,f?(x)?0,则f(x)单调,与条件矛盾. 当a??2时,f?(x)min?f?(0)?1?a?0, 2设f?(x)?0的两个根为m,n(m?0?n),f(x)在(?1,m),(n,??)上单调递增,在(m,n)上单调递减,且f(0)?0,
f(x)???，因此,根据零点的有性定理,f(x)有三limf(x)???,xlim则f(m)?0?f(n),x?????1个零点.
?2?. 所以，实数a的取值范围是???，（2）设h(x)??f(?x),
22???x2?x2?0, ?x?ln1?x构造F(x)?h(x)?f(x)??f(?x)?f(x)???????c?x2?2xG(x)?g(x)?f(x)?bx????ln(x+1)?，
x?2?1??cG?(x)?b??2??x?1???2?2?0,∴G?x?单调递减. ?x?1??x令x3为h(x)与g(x)的图像的交点，
则G?x3??g(x3)?f(x3)?h?x3??f(x3)?0?G(x2),∴x3?x2，减. ∴
g(x)c?b?2单调递xxf(x2)g(x2)g(x3)h?x3?f?x1?????,
x2x2x3x3x1∴x2f?x1??x1f?x2??0.
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