股息增长率(g t)
阶段1 阶段2 阶段3 g a
g n
A B 时间 (t) 图11-1 三阶段股息增长模型 在图11-1中，在转折期内任何时点上的股息增长率g t可以用式（11.12）表示。例如，当t等于A时，股息增长率等于第一阶段的常数增长率；当t等于B时，股息增长率等于第三阶段的常数增长率。
gt?ga??ga?gn??t?A?， （11.12）
?B?A? 在满足三阶段增长模型的假定条件下，如果已知g a ,g n ,A , B 和初期的股息水平D0，就可以根据式（11.12）计算出所有各期的股息；然后，根据贴现率，计算股票的内在价值。三阶段增长模型的计算公式为：
AtV?D0?t?1?1?ga?????1?y?B?D?1?g??DB?1?1?gn?t?1t? （11.13） ???tB?1t?A?1????1?y???1?y??y?gn??1 式（13）中的三项分别对应于股息的三个增长阶段。
Excel软件请见本书所附光盘中的“股利贴现模型”。
假定某股票初期支付的股息为1美元/每股；在今后两年的股息增长率为6%；股息增长率从第3年开始递减；从第6年开始每年保持3%的增长速度。另外，贴现率为8% 。所以，A=2，B=6，g a =6%, g n =3%, r=8%, D0=1。代入式（11.12），得到： g3?0.06??0.06?0.03??3?2??5.25%?6?2??4?2???6?2?4.5%
g4?0.06??0.06?0.03?g5?0.06??0.06?0.03??5?2??3.75%
?6?2? 将上述数据整理，列入表11-1。
第1阶段
表11-1 某股票三阶段的股息增长率 年份 股息增长率(%) 股息(美元/每股) 1 5
6 1.06 2 3 第2阶段 第3阶段 4 5 6 6 5 4 3 3 1.124 1.183 1.236 1.282 1.320
将表11-1中的数据代入式（11.13），可以算出该股票的内在价值等于22. 64美元，即：
2V?1??t?1?1?0.06????1?0.08??t5?t?3?D?1?g??D5?1?0.03?t?1t?22.64（美元） ???t5???1?0.08????1?0.08??0.08?0.03? 如果该公司股票当前的市场价格等于20美元，则根据净现值的判断原则，可以证明该股票的价格被低估了。与零增长模型和不变增长模型不同，在三阶段增长模型中，很难运用内部收益率的指标判断股票的低估抑或高估。这是因为，根据式（11.13），在已知当前市场价格的条
件下，无法直接解出内部收益率。此外，式（11.13）中的第二部分，即转折期内的现金流贴现计算也比较复杂。为此，佛勒（R.J.Fuller）和夏(C.C.Hsia)1984年在三阶段增长模型的基础上，提出了H模型1，大大简化了现金流贴现的计算过程。
二．H模型
佛勒和夏的H模型假定：股息的初始增长率为g a ，然后以线性的方式递减或递增；从2H期后，股息增长率成为一个常数g n，即长期的正常的股息增长率；在股息递减或递增的过程中，在H点上的股息增长率恰好等于初始增长率g a和常数增长率g n的平均数。当g a 大于g n时，在2H点之前的股息增长率为递减，见图11-2。 股息增长率g t
g a
g H g n
H 2H 时间t 图11-2 H模型 在图11-2中，当t=H时，g H =
12(ga?gn)。在满足上述假定条件情况下，佛勒和夏证明了
H模型的股票内在价值的计算公式为： V?D0?y?gn????1?gn??H?ga?gn??? （11.14）
图11-3形象地反映了H模型与三阶段增长模型的关系。
g t 1 参见：Fuller, R.J., and Hsia, C.C., “ A Simplified Model for Estimating Stock Prices of Growth Firms”, Financial Analysts Journal, May-June,1984. 6
g a
g n
A H B 2H t 图11-3 H模型与三阶段增长模型的关系
与三阶段增长模型的公式（11.13）相比，H模型的公式（11.14）有以下几个特点： （1）在考虑了股息增长率变动的情况下，大大简化了计算过程；
（2）在已知股票当前市场价格P的条件下，可以直接计算内部收益率，即：
NPV?V?P?D0?y?gn????1?gn??H?ga?gn????P?0
可以推出，IRR?D0P??1?gn??H?ga?gn???gn （11.15）
（3）在假定H位于三阶段增长模型转折期的中点（换言之，H位于股息增长率从g a变化到 g n
的时间的中点）的情况下，H模型与三阶段增长模型的结论非常接近。
沿用三阶段增长模型的例子，已知：
D0=1（美元）， g a=6%, A=2, B=6, g n=3%, y=8% 假定H=
12?2?6??4，那么，代入式（11.14），可以得出该股票的内在价值等于23.00美
元，即： V?1??1.03?4??0.06?0.03????23.00（美元）
?0.08?0.03?与三阶段增长模型的计算结果相比，H模型的误差率为： ??23.00?22.6322.63?100%?1.64%
这说明H模型的估算结果是可信的。
（4）当g a 等于g n时，式（11.14）等于式（11.11），所以，不变股息增长模型也是H模型的一个特例； （5）如果将式（11.14）改写为 V?D0?1?gn??D0H?ga?gn??y?gn??y?gn? （11.16）
可以发现，股票的内在价值由两部分组成：式（11.16）的第一项是根据长期的正常的股息增长率决定的现金流贴现价值；第二项是由超常收益率g a决定的现金流贴现价值，并且这部分价值与H成正比例关系。
三．案例
下面我们将利用H 模型进行股票价格的低估抑或高估的判断。假定某公司A股票在2003年2月的市场价格为59美元。经预测该公司股票在2003年后的4年间将保持11%的股息增长速
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度，从第5年开始股息增长率递减。但是，从第16年起该公司股票的股息增长率将维持在5%的正常水平。2002年的股息为4.26美元/每股。可以将上述数据用数学形式表示为： A=4，B=16，g a=11%， g n=5%， D0=4.26美元，H=10
假如证券市场线的表达式为：y?10%?5%?，该公司股票的?值等于0.85。那么，投资该公司股票的期望的收益率（贴现率）等于14.25%(?10%?5%?0.85)。 将以上数据代入式（11.14），可以求出该股票的内在价值等于75.99美元，大于该公司股票的市场价格。换言之，该公司股票的净现值大于零。所以，该公司股票价格被低估了。具体过程如下： V?D0???1?gn??H?ga?gn???
?y?gn? ?4.26?0.1425?0.05???1?0.05??10??0.11?0.05???75.99（美元）
同样道理，可以利用式（11.15）求出该公司股票的内部收益率等于16.91% 。因为，内部收益率高于贴现率，所以，该公司的股票价格是被低估的。具体过程如下： IRR?D0P??1?gn??H?ga?1.05?gn???gn
?4.2659?10??0.11?0.05???0.05?16.91%
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第五节 股息贴现模型之四：多元增长模型（Multiple-Growth Model）
第二、第三和第四节的模型都是股息贴现模型的特殊形式。本节将介绍股息贴现模型的最一般的形式——多元增长模型。
不变增长模型假定股息增长率是恒久不变的，但事实上，大多数公司要经历其本身的生命周期。在不同的发展阶段，公司的成长速度不断变化。相应地，股息增长率也随之改变。在发展初期，由于再投资的盈利机会较多，公司的派息比率一般比较低，但股息的增长率相对较高。随后，公司进入成熟期。随着竞争对手的加入，市场需求的饱和，再投资的盈利机会越来越少。在此期间，公司会提高派息比率。相应地，股息也会增加。但由于公司扩张机会的减少，股息增长的速度会放慢。基于生命周期学说，本节引入多元增长模型。
多元增长模型假定在某一时点T之后股息增长率为一常数g，但是在这之前股息增长率是可变的。多元增长模型的内在价值计算公式为：
TV??t?1Dt?1?y?t?DT?1?y?g??1?y?T （11.17）
下面用一个案例说明多元增长模型。
某投资银行1999年9月对ABC公司1999年之后的股息增长情况进行了预测，预测结果见表11-2。已知，1998年的股息为1.44美元/每股，即：D0=1.44美元。假定证券市场线的函数表达式为：y?9.2%?7.8%?，该公司股票的?等于1.24，则投资该公司股票的期望的收益率等
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