→

∴MN＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．

规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．

13

【训练2】 (1)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量2a－2b＝ ( )． A．(－2，－1) B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2)

学生用书第72页 →→→

(2)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD＝

A．(－2，－4) C．(3,5)

B．(－3，－5)

D．(2,4)

( )．

3?1?11?3?3

，，－解析 (1)2a＝?22?，2b＝?2， 2?????13

故2a－2b＝(－1,2)．

→→→→→→→→→→

(2)由题意得BD＝AD－AB＝BC－AB＝(AC－AB)－AB＝AC－2AB＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案 (1)D (2)B

考点三 平面向量共线的坐标表示

【例3】 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；

(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d的坐标．

审题路线 (1)分别求出(a＋kc)与(2b－a)的坐标?利用向量平行的充要条件列方程?解关于k的方程；(2)设d的坐标?根据已知条件列出方程组?解方程组，得到d的坐标．

解 (1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，

由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 16

解得k＝－13.

(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)， 又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝5，

?4?x－4?－2?y－1?＝0，?x＝3，?x＝5，∴?解得?或? 22

?x－4?＋?y－1?＝5，y＝－1y＝3.???∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．

规律方法 a∥b的充要条件有两种表达方式： (1)a∥b(b≠0)?a＝λb(λ∈R)；

(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.

两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b≠0，而第(2)种无b≠0限制．

【训练3】 (1)(2014·衡水中学一检)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝ ( )． 11

A.2 B.4 C．1 D．2

(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．

1解析 (1)由于a＋λb＝(1＋λ，2)，故(a＋λb)∥c?4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝2，故选A.

→→

(2)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴DC＝2 AB. 设点D的坐标为(x，y)，则 →

DC＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)， →

AB＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，

∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， ?4－x＝2，?x＝2，∴?解得?故点D的坐标为(2,4)． ?2－y＝－2，?y＝4，

答案 (1)A (2)(2,4)

1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．

2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．

3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．

思想方法3——方程思想在平面向量线性运算中的应用

【典例】 (2013·北京卷)向量a，b，c在正方形格中的位置如图所示．若c＝λaλ

＋μb(λ，μ∈R)，则μ＝________.

解析 以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，令每个小正方形→

的边长为1个单位，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝AO＝(－1,1)，b→→?－1＝－λ＋6μ，＝OB＝(6,2)，c＝BC＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb可得?解得

－3＝λ＋2μ，?λ＝－2，??

?1μ＝－2，??

λ

所以μ＝4. 答案 4

[反思感悟] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．

(2)利用向量共线建立方程组，用方程的思想求解． 【自主体验】

1．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b. 解析 由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.

又a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋ n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2. 又e1，e2是平面内一组基向量， ?m－n＝1，所以?

?2m＋n＝1，21答案 3 －3

x??

2．已知向量a＝?8，2?，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x＝________.

??x??

解析 a－2b＝?8－2x，2－2?，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，

???x?

由题意得(8－2x)·(x＋1)＝?2－2?·(16＋x)，

??整理得x2＝16，又x>0，所以x＝4. 答案 4

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

2m＝??3，则?1

n＝－??3.