C．[8,9] [答案] B
D．(0,8)
[解析] 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f(x(x－8))≤f(9)，
x>0，??
因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有?x－8>0，
??xx－
角度四
利用单调性求参数的取值范围或值
，
2
解得8＜x≤9.
－x－ax－5，x≤1，??
[典题6] (1)[2017·湖南师大附中月考]已知函数f(x)＝?a，x>1??xR上的增函数，则a的取值范围是( )
A．[－3,0) C．[－3，－2] [答案] C
B．(－∞，－2] D．(－∞，0)
是
a>0，
??a[解析] 由题设可得?－≥1，2??a≥－1－a－5，
解得－3≤a≤－2，故选C.
a－x，x≥2，??
(2)已知函数f(x)＝??1?x??－1，x<2???2?
满足对任意的实数x1≠x2，都有
fx1－fx2
<0成立，则实数a的取值范围为( )
x1－x2
A．(－∞，2) C．(－∞，2] [答案] B
13??－∞，B．?? 8??
?13?D．?，2?
?8?
a－2<0，??
[解析] 由题意可知，函数f(x)是R上的减函数，于是有?
a－??
13?13?由此解得a≤，即实数a的取值范围是?－∞，?.
8?8?
?1?2－1，
?2???
- 9 -
[点石成金] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集区间上也是单调的．
(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．
[方法技巧] 1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值；(2)作差；(3)变形；(4)定号；(5)下结论． 2．判断函数单调性的常用方法
(1)定义法；(2)复合法：同增异减；(3)导数法；(4)图象法． 3．设任意x1，x2∈[a，b]且x1< x2，那么 (1)
fx1－fx2fx1－fx2
>0?f(x)在[a，b]上是增函数；<0?f(x)在[a，b]
x1－x2x1－x2
上是减函数．
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?f(x)在[a，b]上是减函数．
[易错防范] 1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．
真题演练集训
1．[2014·北京卷]下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝x＋1 C．y＝2 答案：A
解析：A项，函数y＝x＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函
－xB．y＝(x－1) D．y＝log0.5(x＋1)
2
- 10 -
数，故正确；B项，函数y＝(x－1)在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错
2
?1?x－x误；C项，函数y＝2＝??在R上为减函数，故错误；D项，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，
?2?
＋∞)上为减函数，故错误．
2．[2014·陕西卷]下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( ) 1 2
A．f(x)＝x
B．f(x)＝x D．f(x)＝3
x3
?1?xC．f(x)＝??
?2?
答案：D
解析：根据各选项知，选项C，D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)．又f(x)＝3是增函数，故选D.
3．[2015·天津卷]已知定义在R上的函数f(x)＝2
|x－m|
x－1(m为实数)为偶函数，记a＝
f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c C．c＜a＜b 答案：C 解析：由f(x)＝2
|x －m|
B．a＜c＜b D．c＜b＜a
－1是偶函数可知m＝0，所以f(x)＝2－1.
0.5
3|
|x|
所以a＝f(log0.53)＝2
|log
－1＝2
|log3|
2
－1＝2，b＝f(log25)＝2
|log5|
2
－1＝2
|log5|
2
－1＝4，
c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c 4．[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________． 答案：(－1,3) 解析：由题可知，当－2 ??x－3x，x≤a， 5．[2016·北京卷]设函数f(x)＝? ?－2x，x＞a.? 3 (1)若a＝0，则f(x)的最大值为________； (2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________． 答案：(1)2 (2)(－∞，－1) ??x－3x，x≤0， 解析：(1)若a＝0，则f(x)＝? ?－2x，x>0，? 2 3 当x>0时，－2x<0；当x≤0时，f′(x) ＝3x－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)>0，得x<－1，f′(x)<0，得－1 - 11 - f(－1)＝2.综上可得，函数f(x)的最大值为2. (2)函数y＝x－3x与y＝－2x的大致图象如图所示． 3 ??x－3x，x≤a， 若函数f(x)＝? ?－2x，x>a? 3 无最大值，由图象可知－2a>2，解得a<－1. 课外拓展阅读 转化与化归思想在求解函数不等式中的应用 [典例] [2017·陕西西安模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足： ①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1； ②当x>0时，f(x)>－1. (1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数； (2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x＋2x)＋f(1－x)>4. [审题视角] (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．借助于赋值法比较出f(x2)与f(x1)的大小． (2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M)>f(N)的形式． [解] (1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1. 在R上任取x1>x2， 则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1. 又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)， 所以函数f(x)在R上是单调增函数． (2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5. 由f(x＋2x)＋f(1－x)>4，得f(x＋x＋1)>f(3)， 又函数f(x)在R上是增函数，故x＋x＋1>3， - 12 - 2 2 2 2