7．4430：解：先求粒子的位置概率密度：
?(x)?(2/a)sin(?x/a)?(2/2a)[1?cos(2?x/a)]--------------------2分
当： cos(2?x/a)??1时， ?(x)有最大值．在0≤x≤a范围内可得 2?x/a??
222∴ 分
8
dP??dx?2x?1a2--------------------------------3
：
解
：
．
22?xsindxaa4526
-----------------3分
粒子位于0 – a/4内的概率为：
a/4P??022?xsindx?aa[12a/4?02a2?x?xsind()a?aaa/4
?2?12?x?sin]a4a0?x2112?a2?a?[?sin()]?a44a4=0.091----------2分
9．解：根据给出的氢原子波函数的表达式，
E，E?13.6eV、E、E、可知能量E的可能值为：其中：
E??3.4eV、E??1.51eV-----------------3分
由于：
1231232102?1102-----------------------1分
所以，能量为E的概率为
101012?22?32?1P1?210?25---------------------1分 能量为E的
2概率为
P2?1102?2102?310---------------------1分
能
P3?3102量为
E3的概率为
---------------------1分
能量的平均值为：E?PE?PE?PE-----------------------2分
??6.913eV--------------------1分
10．解：由归一化条件，应有
112233?310?a0A2sin2n?xdx?1a-----------------------3分
得
：
-----------------------2分
11．解：当x?0或x?a时，粒子势能无限大，物理上考虑这是不可能的，所以粒子在该区域出现纪律为零，即：??x??0
当0?x?a时，U?x??0，定态薛定谔方程为：
?2d2???E?22mdxA?2a
设，则方程为： 通解为：??x??Asinkx?Bcoskx
x?a处??x??0，由波函数的连续性可知，在x?0、
即：
k?2?E/?2d2??k2??02dx??x??Asin0?Bcos0?0??x??Asin?ka??Bcos?ka??0得：B?0；
k?n?a，n?1、
2、3…… 所以有：
?n?x??Asin????n????a?2，n?1、2、3……
a2a00归一化条件：?????x?dx????x?dx??A2sin2??n??a??dx?1?
所以：
12
??x??2A?2a，即：
?n?x??2?n??sin??a?a?，n?1、2、3……
?2h22E?En?n22?a粒子能量为：，n?1、2、3……
．解
：
即??x?是第一和第三个能量本征态的叠加，所以测得能量值可为：
?2?2（1）2?a2122???x???x???x???x??2?x??sin??cos2???sin?sin????cos????aaaaa?a?a??????????12??x?12?3?x??sin???sin??2a?a?2a?a?，相应概率为：
221?212
（2）
9??2?a22，相应概率为：
221??E?222?a2?12所以，能量平均值为：
+
225?2?219??2222?a?2?a213．解：由归一化条件得：c?161?3122?c?12 解
得：
根据谐振子波函数的表达式，可知能量E的可能值为：E、E、E
023因为： 所以： 则
1??En??n??h?2??
E2?5h?2E0?1h?2；
2；
2E3?7h?2
：
E?P0E0?P2E2?P3E3?一、填空题
11?h??3215?h??22217?h??2h?62
1.一束单色光垂直入射到光栅上，衍射光谱中共出现5条明纹。若已知此光栅的缝宽度与不透明部分宽度相等，则中央明纹一侧的两条明纹分别是第 级和第 级谱线
2.一束自然光以布儒斯特角入射到平板玻璃片上，就偏振状态来说则反射光为 ，反射光E矢量的振动方向 ，透射光为 。 3.
用波长为?的单色光垂直照射如图所示的、折射
率为n2的劈形膜(n1＞n2 ，n3＞n2)，观察反射光干涉．从劈形膜棱边开始，第2条明条纹对应的膜厚度e＝___________________．
n1n2n3
4．在迈克耳孙干涉仪的一支光路上，垂直于光路放入折射率为n、厚度为h的透明介质薄膜．与未放入此薄膜时相比较，两光束光程差的改变量为___________．
5．在单缝夫琅禾费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光(?1≈589 nm) 中央明纹宽度为4.0 mm，则?2=442 nm (1 nm = 10 m)的蓝紫色光的中央明纹宽度为
-9