专题22 函数综合（求点的坐标）

教学重难点

1.掌握用待定系数法求解函数的解析式；

2.培养学生能根据题目中的条件画出大致需要的图形； 3.培养学生分析问题、解决问题的综合能力。

【备注】本部分为知识点回顾总结，时间大概为5分钟左右，注意让学生多画图回顾。 函数基础知识点梳理： 反比例函数y?k(k?0) x一次函数二次函数y?kx?b(k?0) k＞0 y?ax2?bx?c(a?0) a＞0 最高次系 数符号 图象 k＞0 k＜0 k＜0 a＜0 y y OxOx 性质 1.图象经过一、三象限 2.在每一个象限内，y随x的增大而减小。 1.图象经过1.图象经过1.图象经过二、四象限 2.y随x的增大而减小。 1.开口向上 2.对称轴：直线x??b 2a 1.开口向下 2.对称轴：直线x??b 2a二、四象限 一、三象限 2.在每一象限内，y随x的增大而2.y随x的增大而增大。 3.顶点坐标：3.顶点坐标：b4ac?b2b4ac?b2(?，?)(?，?)2a4a2a4a增大。

函数综合题目考点分析：

1.求解函数解析式，以二次函数为主；

2.求解相关点的坐标，二次函数中一般考察求对称轴、顶点坐标；

3以函数为背景，考察相似、等腰、相切、平行四边形、面积等相关知识点；该类题型综合性很强，需

要及时画图观察。

1.（2020长宁、金山一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝C（5，0），且与y轴交于点A．

（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；

（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；

（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．

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x+mx+n经过点B（6，1），3

【整体分析】

（1）将点B、C代入抛物线解析式y＝

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x+mx+n即可； 3（2）先证△ABC为直角三角形，再证∠QAP+∠CAB＝90°，又因∠AQP＝∠ACB＝90°，即可证△PQA∽△ACB；

（3）做点B关于AC的对称点B'，求出BB'的坐标，直线AB'的解析式，即可求出点F'的坐标，接着求直线FF'的解析式，求出其与AB的交点即可．

【满分解答】

解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝

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x+mx+n， 3?1?12?6m+n,?得? 250=?5m?n,?3?解得，m＝﹣，n＝5， 则抛物线的解析式为：y＝

83128x﹣x+5，点A坐标为（0，5）；

33（2）∵AC＝52?52?52，BC＝(6?5)2?12?∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，

2，AB＝(5?1)2?62?213，

当∠PAB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y 轴于点Q，

∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠PAB＝135°， ∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°， ∵∠QAP+∠QPA＝90°，∴∠QPA＝∠CAB， 又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB；

（3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线， 由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1）， 将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5， ∴k＝﹣

33，∴yAB'＝﹣x+5， 223?y?x?5,??72联立?解得，x1＝，x2＝0（舍去），

182?y?x2?x?5?33?则F'（

71，﹣）， 24将B（6，1），B'（4，﹣1）代入直线y＝mx+n， 得，??6k?b?1,?k?1,解得，?∴yBB'＝x﹣5，

?4k?b??1,?b??5.由题意知，kFF'＝KBB'，∴设yFF'＝x+b， 将点F'（

7115，﹣）代入，得，b＝﹣，

42415， 4∴yFF'＝x﹣

221??y?x?5,x?,????34联立?解得，?

35?y?.?y?x???2?4?∴F（

213，）， 42则FF'＝(21723172． ?)?(?)2＝42244

【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定，交点坐标的求法等，解题关键是牢固掌握轴对称的性质，并能够灵活运用．

2.（2020闵行一模）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x = -2的抛物线经过点C(0，2)，与x轴交于A(-3，0)、B两点(点A在点B的左侧).

(1)求这条抛物线的表达式. (2)连接BC，求∠BCO的余切值.

(3)如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO =∠BCO，求点P的坐标.