章末检测
一、选择题
1
1． 一质点运动方程为S＝20＋gt2(g＝9.8 m/s2)，则t＝3秒时的瞬时速度为
2
A．20 m/s C．29.4 m/s
B．49.4 m/s D．64.1 m/s
( ) ( )
2． 曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为
A．y＝3x－4
B．y＝－3x＋2 D．y＝4x－5
C．y＝－4x＋3
3． 已知函数f(x)＝x3－12x＋a，其中a≥16，则下列说法正确的是
A．f(x)有目仅有一个零点 B．f(x)至少有两个零点 C．f(x)最多有两个零点 D．f(x)一定有三个零点
4． 若f(x0)存在且f′(x0)＝0，下列结论中正确的是
( )
A．f(x0)一定是极值
( )
B．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值 C．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值 D．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值 5． 定积分?30xdx等于
9
A. 2
( )
B．9 C．8 D．3
6． 一个弹簧压缩x cm产生4x N的力，那么将它从自然长度压缩0.05 m做的功是
( ) A．50 J
B．0.5 J
C．500 J D．5 J
( )
ππ
7． 由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为
33
1
A. 2
B．1
C.3
2
D.3
1
8． 函数y＝x－2sin x的图象大致是
2
( )
－2x
9． 曲线y＝e＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为 ( )
第 1 页
1A. 3
1B. 2
2C. 3
D．1
( )
10．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为
8
A.π 27
16
B.π 27
8
C.π 9
16D.π 9
11．已知函数f(x)＝ax5－x(a<0)，若x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)
＋f(x2)＋f(x3)的值 A．一定大于零 C．等于零
( )
B．一定小于零 D．不能确定
( )
12．函数f(x)＝?x0t(t－4)dt在[－1,5]上
A．有最大值0，无最小值 32
B．有最大值0，最小值－
332
C．有最小值－，无最大值
3D．既无最大值，也无最小值 二、填空题
13．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋
f′(5)＝________.
14．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
15．若1 N的力使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm时克服弹力所做的功为________． 4x
16．若函数f(x)＝2在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是________．
x＋1三、解答题
17．设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．
18．列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4 m/s2，问列车应在进站
前多长时间，以及离车站多远处开始制动？ 1
19．已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c.
2
(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，求b的取值范围；
(2)若f(x)在x＝1处取得极值，且x∈[－1,2]时，f(x) 22 20．设f(x)＝?10|x－a|dx. (1)当0≤a≤1与a>1时，分别求f(a)； (2)当a≥0时，求f(a)的最小值． 第 2 页 答案 1．C 2．B 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C 9．A 10．A 11．B 12．B 13．2 14．2 15．0.36 J 16．(－1,0] 17．解 (1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a. ∵f(x)在x＝3处取得极值， ∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3. ∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8. (2)A点在f(x)上， 由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18， f′(1)＝6－24＋18＝0， ∴切线方程为y－16＝0. 18．解 因为a＝－0.4 m/s2，v0＝72 km/h＝20 m/s. t 设t秒后的速度为v，则v＝v0＋?0adt ＝20－?t00.4dt＝20－0.4t， 当列车停止时v＝0，解得t＝50 s. 设列车由开始制动到停止所走过的路程为s. 50则s＝?500v(t)dt＝?0(20－0.4t)dt ＝500 (m)． 故列车应在进站前50 s和进站前500 m处开始制动． 19．解 (1)f′(x)＝3x2－x＋b，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，则f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0， ∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)上恒成立． 设g(x)＝x－3x2. 第 3 页 111当x＝时，g(x)max＝，∴b≥. 61212 (2)由题意知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2. x∈[－1,2]时，f(x) 只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可．∵f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得x＝123 或x＝－.∵f(1)＝－＋c， 322221 －?＝＋c，f(－1)＝＋c， f??3?272f(2)＝2＋c. ∴f(x)max＝f(2)＝2＋c，∴2＋c 20．解 (1)0≤a≤1时， 12f(a)＝?0|x－a2|dx 22122＝?a0(a－x)dx＋?a(x－a)dx 13ax3 ＝(ax－x)|0＋(－a2x)|1a 33 2 a312a33＝a－－0＋0＋－a－＋a 333 3 41＝a3－a2＋. 33当a>1时， 1112f(a)＝?0(a－x2)dx＝(a2x－x3)|10＝a2－. 33 ? ∴f(a)＝?1 a－?3 ?a>1?. 2 431 a－a2＋ ?0≤a≤1?，33 11 (2)由于f(a)＝a2－在[1，＋∞)上是增函数，故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝1－＝332 . 3 当a∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2a－1)， 1 由f′(a)>0知：a>， 2 第 4 页 11 故在[0，]上递减，在[，1]上递增． 22因此在[0,1]上，f(a)的最小值为 11 f()＝. 24 1 综上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为. 4 第 5 页