5.20 已知一带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数L（非相对论的）为
L?T?q??qA?v?1mv2?q??qA?v 2式中v为粒子的速度，m为粒子的质量， q为粒子所带的电荷， ?为标量势，A为矢量势。试由此写出它的哈密顿函数。
5.21 试写出自由质点在作匀速转动的坐标系中的哈密顿函数的表示式。
5.22 试写出§3.9中拉格朗日陀螺的哈密顿函数H，并由此求出它的三个第一积分。5.23
试用哈密顿正则方程解4.10题。
5.24 半径为c的匀质圆球，自半径为b的固定圆球的顶端无初速地滚下，试由哈密顿正则方程求动球球心下降的切向加速度。
5.25 试求由质点组的动量矩J的笛卡儿分量所组成的泊松括号。
5.26 试求由质点组的动量P和动量矩J的笛卡儿分量所组成的泊松括号。 5.27 如果?是坐标和动量的任意标量函数，即??ar2?br?p?cp2常数，试证??,Jz，
a,b,c为
?=0。
5.28 半径为a的光滑圆形金属丝圈，以匀角速?绕竖直直径转动，圈上套着一质量为m的
小环。起始时，小环自圆圈的最高点无初速地沿着圆圈滑下。当环和圈中心的联线与竖直向上的直径成角?时，用哈密顿原理求出小环的运动微分方程。 5.29 试用哈密顿原理解4.10题。
5.30 试用哈密顿原理求复摆作微振动时的周期。 5.31试用哈密顿原理解5.9题。 5.32 试证Q?㏑??5.33 证：变换方程
??1?sinp?,P?qctgp为一正则变换。 ??q?q??2Q?k12?12cosP,p??2Q?ksinP1212代表一正则变换，并将正则方
?????H??H1?H?H程q?变为Q?式中H??p2?k2q2?,H??kQ ,p??,P???p?q2?P?Q5.34 如果利用下列关系把系数p，q换为P,Q:
q??1?P,Q?,p??2?P,Q?
则当
??q,p??1
??Q,P?时，这种变换是一正则变换，试证明之。
5.35 试利用正则变换，由正则方程求竖直上抛的物体的运动规律。已知本问题的母函数
?1?U?mg?gQ3?qQ?，式中q为确定物体位置的广义坐标，Q为变换后新的广义坐标，
?6?g为重力加速度。
5.36 试求质点在势场
V?中运动的主函数S，式中?及F为常数
?r2?Fz
r35.37 试用哈密顿-雅科毕偏微分方程求抛射体在真空中运动的轨道方程。 5.38 如力学体系的势能V及动能T可用下列二函数表示：
V?V1?V2???Vs
A1?A2???As????2122?? T??A1?A2???As??Bq?Bq??Bq1122ss??2??式中V?,A?,B????1,2,?,s?都只是一个参数q?的函数，则此力学体系的运动问题可用积分法求解，试证明之。
5.39 试用哈-雅方程求行星绕太阳运动时的轨道方程。
5.40 试由?5.9.29?及?5.9.30?两式推证?5.9.31?及?5.9.32?两式。 5.41 试求质点在库仑场和均匀场
V??R?Fz
表
的合成场中运动时的住函数S，以抛物线坐标?，?，?。
R?r2?z2（参看图1.2.4）
?及F是常数，而
5.42 刘维定理的另一表达式是相体积不变定理。这里又有两种不同的说法：
（1）考虑相宇中任何一个区域。当这区域的边界依照正则方程运动时，区域的体积在运动中不变。
（2）相宇的体积元在正则变换下不变。试分别证明之。
第五章习题解答
5.1解 如题5.1.1图
roC?xmg
y题5.1.1图杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与水平方向夹角?所唯一确定。杆的自由度为1，由平衡条件：
????Fi?ri?0
即
mg??y =0①
变换方程
yc=2rcos?sin?-lsin?= rsin2??lsin?②
22故
?yc??2rcos2??lcos????③
代回①式即
1???2rcos??lcos?????0
2????12??因??在约束下是任意的，要使上式成立必须有：
rcos2?-lcos?=0
2l?4rcos2?④ cos?又由于
cos?=c
2r故
22cos2?= c?2r
2r2代回④式得
4c2?2r2 l?c??
5.2解 如题5.2.1图
o??3
??y5.2.1图三球受理想约束，球的位置可以由?确定，自由度数为1，故。
x1??2rsin????l?r?sin? x2?2rsin???l?r?sin?x3?0
y1??l?r?cos?y2??l?r?cos?y3??l?r?cosa?2rcos?得
?y1???l?r?sin????y2???l?r?sin????y3???l?r?sin????2rsin?由虚功原理
???????